高校数学Ⅲ

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5分で解ける!定積分の置換積分(1)に関する問題

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5分で解ける!定積分の置換積分(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
定積分の置換積分(1)

積分法とその応用27 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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x√(3x2+1)を,0から1の区間で定積分する問題です。「積分した式を求める」→「(上端)ー(下端)」の順番で計算していきましょう。

t=3x2+1とおいて積分

積分法とその応用27 問題

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x√(3x2+1)の積分方法を覚えていますか? このように, 無理関数が登場する積 を積分するときには,ルートの中身をtとおく置換積分法が有効でした。

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置換積分法を振り返りながら,x√(3x2+1)を不定積分していきます。まず,t=3x2+1とおくと,
∫x√(3x2+1)dx=∫x√(t)dx……①
また,t=3x2+1の両辺を微分すると,
(d/dx)t=6x つまり,xdx=(1/6)dt
これと①より,
∫x√(3x2+1)dx=∫x√(t)dx= (1/6)∫√(t)dt
とtの式に置きかえることができます。

積分区間の変化に注意!!

積分法とその応用27 問題

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t=3x2+1とおくとき,
∫x√(3x2+1)dx=(1/6)∫√(t)dt
です。しかし,
01x√(3x2+1)dx=(1/6)∫01√(t)dt
とすると,完全な誤りになってしまいます。

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なぜだか,わかりますか? ∫01f(x)dxの式は,xが0から1まで動くときの積分を表していますね。このとき,tも0から1まで動くわけではありません。t=3x2+1より,
x=0のとき,t=3×02+1=1
x=1のとき,t=3×12+1=4
つまり,tは1から4まで動くのです。tについての積分の式は,積分区間を1から4にして,
01x√(3x2+1)dx=(1/6)∫14√(t)dt
とする必要があるのです。

POINT
積分法とその応用27 ポイント
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定積分の置換積分では,置換した後の積分区間の変化を必ず求めるようにしてください。

積分して,(上端)ー(下端)を計算

積分法とその応用27 問題 答え1~5行目まで

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√tを積分し, 上端の4,下端の1を代入 して「(上端)ー(下端)」を計算すれば,答えが求まりますね。

答え
積分法とその応用27 問題 答え
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定積分の置換積分は,積分区間の変化を見落とすことが多いです。 (xの式)をtに置換するとき,必ずtの範囲を求める よう習慣づけましょう。

定積分の置換積分(1)
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          定積分

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