xlogxを，1からeの区間で定積分する問題です。2つの関数の積で表された式の積分は，次の部分積分法を使って計算しましょう。

部分積分法の公式
∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-∫F(x)g'(x)dx
において，xとcosxのどちらがf(x)で，どちらがg(x)かを見極めます。

logxは積分しにくく，微分しやすい関数ですね。logxの微分は(1/x)となります。一方，xの積分は容易で，x²/2になります。したがって，g(x)=logx，f(x)=xとおきましょう。

上端e，下端1であることから，

となりますね。∫₁^e(x/2)dxの積分計算を進めた後，(上端)ー(下端)を計算すれば答えとなります。

積分しやすい方がf(x)，微分しやすい方がg(x) という見極めがしっかりできるようになりましょう。