5分で解ける!鉛直面内の円運動(その1)に関する問題
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この動画の問題と解説
練習
解説
点Aを通過する前は、重力と垂直抗力のつりあい
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(1)では、最下点Aを通過する直前と直後の物体の受ける垂直抗力を求めます。A点を通過する前と後で区別していることがわかりますね。まずは通過前について考えましょう。下の図を見てください。
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通過前は水平に運動しているので受ける力は下向きに重力mg、そして床から垂直抗力Nを受けます。Aを通過する直前までは単純に水平面を移動しているだけなので、mgとNは単なるつり合いだと考えられますね。
![高校物理 運動と力74 練習 答え1行目](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/sci_phy/1_17_74_2/k_sci_phy_1_17_74_2_image04.png)
点Aを通過した後は、遠心力もはたらく
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問題はA点を通過直後です。通過直後では半径rの 円運動が始まります 。円運動では、円の中心方向に加速度aを持ちます。観測者が物体と一緒に回ると考えると、 遠心力ma がはたらきますね。
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円の中心向きにはたらく垂直抗力N'と外向きにはたらく重力mgと遠心力maのつりあいから、垂直抗力N'が求められます。ここで、加速度aは半径rと速度vを使って表しましょう。
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点Bでの力のつりあいを考える
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(2)は最高点Bで物体が円筒面から離れないための速さVの範囲を求める問題です。今回のような円運動では、速度が足りないと途中で円から離れて落ちてしまいます。円筒面から離れることなくB点を通過するためには、どんな条件が必要でしょうか。
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B点ではたらく力を考えてみましょう。B点ではまず重力mgを受けます。さらに面から垂直抗力を受けますね。この垂直抗力をNBとします。
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B点で、物体が円筒面から離れない条件は、上図の 下向きの力mg+NBとつりあう力がはたらく ときですね。ここで、観測者が物体と一緒に回ると考えると、物体には遠心力が外向きにはたらき、大きさはmaになります。
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つまり、鉛直下向きの力NBと重力mgに対して,鉛直上向きの遠心力maがつりあうことになるので次の式が成り立ちます。
NB+mg=ma
加速度aは、Bでの速度Vと半径rを使って表し、NBについて解いてみましょう。
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B点で面から離れないということは、B点での垂直抗力がちょっとでもあればいいということになります。つまり、物体が離れない条件は垂直抗力NBが0以上であれば良いという事に注意して以下のようにVの範囲を求めましょう。
![高校物理 運動と力74 練習 図と解答](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/sci_phy/1_17_74_2/k_sci_phy_1_17_74_2_image09.png)
鉛直面内の円運動は力学的エネルギーの保存を考えよう
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(3)では、最高点Bで物体が離れないための最下点Aでの速さvの範囲を求めます。(2)で円筒面から離れないための点Bの速さVの範囲は求めましたね。次に最下点で通過する速さの範囲を求めましょう。
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ここで、A点からB点へ移動する中で あるものが保存されている ことに気付いていますか。移動中の物体には保存力である重力と、非保存力である垂直抗力がはたらきます。垂直抗力は物体の移動に対し直角にはたらくので、仕事WNは0になります。したがって、 保存力である重力だけが仕事をする ので、この物体は 力学的エネルギーが保存 されているのです。
求めた範囲を利用して等式を不等式の関係に直そう
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A点を位置エネルギーの基準と考えます。 A点での運動エネルギーは(1/2)mv2で、位置エネルギーは 0です。一方、 B点での運動エネルギーは(1/2)mV2、位置エネルギーは高さが2rであることから2mgr となります。これらを踏まえて力学的エネルギーの保存の式を立て、(2)の結果を利用して速さvの範囲を求めましょう。
![高校物理 運動と力74 練習 (3)2行目以降全て](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/sci_phy/1_17_74_2/k_sci_phy_1_17_74_2_image11.png)
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(2)の結果を利用して、等式を不等式に直すのがポイントですね。鉛直面内の円運動は、運動方程式、力のつりあい、力学的エネルギーの保存を考えれば良いことをおさえておきましょう。
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鉛直面内の円運動について、実戦的な問題を解いていきましょう。問題文には「なめらか」とあるので、摩擦は考えなくて良いですね。