高校数学Ⅲ

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5分で解ける!ある点を中心とする回転移動に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
ある点を中心とする回転移動

高校数Ⅲ 複素数平面29 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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点βを,点αを中心として回転移動させた点γを求める問題です。これまで原点を中心とする回転移動を学習してきましたが,今回は中心が原点ではありません。ある点を中心とする回転移動は,一体どう解いていけばよいでしょうか?

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ポイントとなるのは点αを原点に平行移動して考えるです。原点を中心とするθの回転移動であれば,w=cosθ+isinθをかけ算して求められますよね。これを利用することを考えます。つまり,点αが原点に重なるように,点α,βを平行移動した後で,θだけ回転移動するのです。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面29 ポイント
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ポイントの内容を解説しましょう。点βを,点αを中心として回転移動させた点をzとします。点αを原点に平行移動するとき,点βを平行移動した点はβ-α点zを平行移動した点はz-αとなりますよね。点β-αをθだけ回転移動した点は,点z-αに一致するので,
z-α=(cosθ+isinθ)(β-α)
と立式できます。あとは,これをzについて解けば,点αを中心として回転移動させた点の複素数zがわかります。

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この問題であれば,θ=π/3として求めていけますね。

点αを原点に平行移動して考える

高校数Ⅲ 複素数平面29 問題

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点αを原点に平行移動するとき,点βを平行移動した点はβ-α点γを平行移動した点はγ-αとなりますよね。点β-αを(π/3)だけ回転移動した点は,点γ-αに一致するので,
γ-α={cos(π/3)+isin(π/3)}(β-α)
と立式できます。

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問題文で与えられているα=2+3i,β=4+iを代入すると,次のように答えが求まりますね。

答え
高校数Ⅲ 複素数平面29 問題 答え
ある点を中心とする回転移動
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