高校数学Ⅲ

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5分で解ける!複素数表示の円の方程式(2)に関する問題

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5分で解ける!複素数表示の円の方程式(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
複素数表示の円の方程式(2)

高校数Ⅲ 複素数平面24 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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方程式2|z|=|z+3|によって定められる複素数zが描く図形を答える問題です。私たちが知っている複素数表示の図形の方程式は, |z-α|=r (中心α,半径r) だけでしたね。方程式2|z|=|z+3|は,|z-α|=rの形と似ても似つきません。

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このようにパッと見ただけではよくわからない方程式が与えられたとき,どうすればよいでしょうか? ポイントを紹介しましょう。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面24 ポイント
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複素数z=x+yiとおき,x,yの関係式で表せばよいのです。x,yの関係式がわかれば,数学Ⅱで学習した図形の方程式の知識が使えますよね。

|x+yi|=√(x2+y2)

高校数Ⅲ 複素数平面24 問題

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z=x+yiとおき,与式に代入しましょう。
2|x+yi|=|x+3+yi|
です。ここで, |x+yi|=√(x2+y2) であることを活用すると,
2√(x2+y2)=√{(x+3)2+y2}……①
となります。

両辺を2乗してルートを外す

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求めたいのはx,yの関係式です。したがって,①式の両辺を2乗すると,
4(x2+y2)=(x+3)2+y2
さらに式を整理すると,
3x2+3y2-6x-9=0
(x-1)2+y2=4
数学Ⅱで学習した円の方程式があらわれました。中心が点(1,0),半径が2の円だとわかりましたね。ただし,これはxy平面上での話です。複素数平面上での表し方に置きかえると,中心1,半径2の円となります。

答え
高校数Ⅲ 複素数平面24 問題 答え
複素数表示の円の方程式(2)
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