高校数学Ⅲ

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5分で解ける!原点を中心とする回転移動(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
原点を中心とする回転移動(2)

高校数Ⅲ 複素数平面27 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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3点0,α,βを頂点とする三角形が正三角形であるという条件をもとに,複素数βの値を求める問題です。頻出パターンの問題なので,解法をしっかり覚えておきましょう。

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ポイントとなるのは原点を中心とする回転移動です。いま,原点0と,α=2+4iの位置はわかっていますね。3点0,α,βを頂点とする三角形が正三角形であるということは,βは,原点を中心としてαを(π/3)または(-π/3)だけ回転移動した点と一致します。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面27 ポイント
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回転角が±(π/3)と2通りあることに注意しながら,解いていきましょう。

点βを図で確認してみよう

高校数Ⅲ 複素数平面27 問題

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まずは3点0,α,βを頂点とする正三角形を図示してみましょう。

高校数Ⅲ 複素数平面27 問題 手書き図

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原点0を中心にαを(π/3)回転させると,(ア)βに一致しますね。ただし,βを表す点は(ア)だけではありません。αを(-π/3)回転させた(イ)βも忘れないようにしましょう。原点を中心にαを(π/3)または(-π/3)だけ回転移動した点βは,
β={cos(±π/3)+isin(±π/3)}×α……①
と表せますね。

①の式にα=2+4iを代入

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βを表す①の式に,問題文で与えられているα=2+4iを代入しましょう。αを(π/3)回転させた(ア)と,αを(-π/3)回転させた(イ)に分けて答えを求めると,次のようになります。

答え
高校数Ⅲ 複素数平面27 問題 答え
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原点を中心とする回転移動(2)
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