この問題を解くポイントは、 「remain 分詞」「sit 分詞」などの表現をしっかりと押さえること です。

この使い方では、分詞は、名詞の後ろからカタマリで意味をたす役割ではなく、動詞の後ろで補語の役割をはたすんだ。
remain 分詞は「分詞のままだ」、sit 分詞は「分詞(の状態)で座っている」 という意味だよ。
「横になっている」「立っている」などを表すパターンもあって、細かいニュアンスを表現することができるんだ。

では、さっそく問題を見ていこう。

This problemは「この問題」という意味だね。
選択肢を見ると、unsolvingと、unsolvedがあるね。
remain 分詞 「 分詞のままだ 」の表現を使いそうだよ。

どちらを選んだらよいかな。
remain 分詞 「 分詞のままだ 」の表現は、remainをbe動詞に置きかえても文として成り立つよ。
わかりやすくするために、いったんbe動詞に置き換えて考えてみよう 。

すると、カッコの前は、This problem isとなるね。
それぞれの選択肢をそれぞれ入れてみると、
This problem is unsolving.と、This problem is unsolved.になるね。
問題は「解決 される 」ものだから、 受身 のニュアンスを出したいね。

だから、unsolvedを入れよう。
This problem remains unsolved.で「この問題は未解決だ」だね。
動詞をbe動詞からremainに戻すと、文全体では、This problem remains unsolved.「この問題は未解決の ままだ 」という意味になるよ。
unsolvedで「未解決の」と覚えてしまっても良いね。

次に(2)を見てみよう。

at the entranceは「入り口で」、stoodはstandの過去形で「立っていた」という意味だね。

これも、同じように stoodを、be動詞の過去形で置き換えて考えてみよう 。
選択肢をそれぞれ入れてみると、文の後半は、
he was waiting for his son.「彼は息子を待っていた」とするとよいとわかるね。
だから、ここではwaitingを選ぶよ。

動詞をstoodに戻すと、文全体ではこうなるよ。
At the entrance, he stood waiting for his son.「入り口のところで、彼は 立って 息子を待っていた」という意味だね。

stand 分詞 で、「 分詞(の状態で)立っている 」という表現だよ。