高校数学Ⅲ

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5分で解ける!極形式によるz^2,z^3の計算に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
極形式によるz^2,z^3の計算

高校数Ⅲ 複素数平面15 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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極形式で表された複素数zについて,z2とz3を求める問題です。

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z=√2(cos(π/12)+isin(π/12))をそのまま代入して,
z2={√2(cos(π/12)+isin(π/12))}2
とすると,とても面倒な計算になります。そこで,以前に学習した極形式の積の公式を利用しましょう。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面15 ポイント
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公式を使うと,極形式の積は,絶対値が積,偏角が和になるのでしたね。したがって,z=r(cosθ+isinθ)であれば,
z2=r2{cos(θ+θ)+isin(θ+θ)}
と計算できますね。

「極形式の積」は「絶対値が積,偏角が和」

高校数Ⅲ 複素数平面15 問題

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z=√2{cos(π/12)+isin(π/12)}より,
z2=√22{cos(π/12+π/12)+isin(π/12+π/12)}
となりますね。「極形式の積」は「絶対値が積,偏角が和」となります。よって,
z2=2{cos(π/6)+isin(π/6)}
z2=2{√3/2+(1/2)i}=√3+i

と求まります。

答え①
高校数Ⅲ 複素数平面15 問題 解答1~5行目

z3=z2×zを利用

高校数Ⅲ 複素数平面15 問題

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続いてz3の値を求めましょう。z3=z2×zとできますね。z2は,(1)より, z2=2{cos(π/6)+isin(π/6)} と極形式で表すことができるので,
z3=z2×z
⇔z3=2{cos(π/6)+isin(π/6)}×√2{cos(π/12)+isin(π/12)}
「極形式の積」は「絶対値が積,偏角が和」 となるので,
z3=2√2{cos(π/6+π/12)+isin(π/6+π/12)}
あとはこれを計算すると答えが出てきますね。

答え②
高校数Ⅲ 複素数平面15 問題 解答6行目以降
極形式によるz^2,z^3の計算
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