高校数学Ⅲ

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5分でわかる!極形式の図形的な意味

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この動画の要点まとめ

ポイント

極形式の図形的な意味

高校数Ⅲ 複素数平面14 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回のテーマは 「極形式の図形的な意味」 です。 z=|z|(cosθ+isinθ) の形で表した式を極形式と言いましたね。 z=|z|(cosθ+isinθ) を複素数平面上で考えるとき,どのような図形上の点になるかを解説しましょう。

原点からの距離が|z|⇔原点を中心とする半径|z|の円周

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z=a+bi=|z|(cosθ+isinθ) を複素数平面上で考えます。 絶対値|z|=√(a2+b2)原点からの距離を表し,偏角θ実軸とのなす角を表しました。

高校数Ⅲ 複素数平面14 ポイント 図 円周をカット,座標軸上のrと-rをカット

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ここで, 原点からの距離が|z| の図形的な意味をよく考えてみましょう。原点を中心とする半径|z|の円周上に点zがあるということがわかりますね。

高校数Ⅲ 複素数平面14 ポイント 図

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r=|z|=√(a2+b2)とおくと, z=a+bi=r(cosθ+isinθ) の式は,点zがx2+y2=r2の周上の点であることを表しているのです。

実軸となす角がθ⇔a=rcosθ,b=rsinθ

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さらに,点zが実軸となす角がθの図形的な意味をよく考えてみましょう。r=|z|を斜辺とする直角三角形に注目してください。

高校数Ⅲ 複素数平面14 ポイント 図

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a=rcosθ,b=rsinθとなることが,図からわかります。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面14 ポイント
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極形式 z=r(cosθ+isinθ) について,
①点zは,原点を中心とする半径rの円周上
②xy平面での点zの座標は(rcosθ,rsinθ)となる
という2つの図形的意味をおさえましょう。

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

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