高校数学Ⅲ

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5分でわかる!極形式で表される複素数の積

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この動画の要点まとめ

ポイント

極形式で表される複素数の積

高校数Ⅲ 複素数平面12 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回のテーマは 「極形式で表される複素数の積」 です。ある2つの複素数
z1=|z1|(cosθ1+isinθ1),z2=|z2|(cosθ2+isinθ2)について,これらの積z1z2の求め方を解説します。

「絶対値の積」と「偏角の和」

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z1z2=|z1|(cosθ1+isinθ1)×|z2|(cosθ2+isinθ2)
として真正面から計算するのは手間がかかります。そこで,極形式どうしの積は次の公式を活用して計算しましょう。

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高校数Ⅲ 複素数平面12 ポイント
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極形式の積の公式では,2つの点に注目します。
①z1z2の絶対値は,絶対値の積になる
②z1z2の偏角は,偏角の和になる
z1z2=|z1|(cosθ1+isinθ1)×|z2|(cosθ2+isinθ2)を真正面から計算するより,ラクな計算になりますよね。この公式をしっかり覚えましょう。

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高校数Ⅲ 複素数平面12 ポイント

【補足】極形式の積の公式の証明

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なお, z1z2=|z1||z2|{cos(θ12)+isin(θ12)} の公式は,三角関数の加法定理を利用して,以下のように証明できます。

極形式の積の公式の証明

z1z2

=|z1|(cosθ1+isinθ1)×|z2|(cosθ2+isinθ2)

=|z1||z2|(cosθ1+isinθ1)×(cosθ2+isinθ2)

=|z1||z2|{cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isin1θcosθ2+(i)2sinθ1sinθ2)}

=|z1||z2|{(cosθ1cosθ2-sin1θsinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)}

=|z1||z2|{cos(θ12)+isin(θ12)}

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

極形式で表される複素数の積
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