高校数学Ⅲ

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5分で解ける!複素数の極形式の始まり(2)に関する問題

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5分で解ける!複素数の極形式の始まり(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
複素数の極形式の始まり(2)

高校数Ⅲ 複素数平面10 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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前回の授業で複素数の極形式について学習しましたね。z=|z|(cosθ+isinθ)の形の式を極形式と呼び,複素数z=a+biは次のポイントにしたがって極形式に変形できました。

POINT
高校数Ⅲ 複素数平面10 ポイント
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今回は,z=2-2iを極形式で表してみましょう。

|z|の値は?

高校数Ⅲ 複素数平面10 問題

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z=a+biの極形式はz=|z|(cosθ+isinθ)です。まずは,|z|=√(a2+b2)の値を求めましょう。本問ではa=2,b=-2なので,これらを代入すると,
|z|=√{22+(-2)2}=2√2
とわかります。

偏角θの値は?

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次に,偏角θの値を求めていきます。z=2-2i,|z|=2√2より,
2-2i=2√2(cosθ+isinθ)
と表せますよね。さて,ここから,偏角θを求める手順を覚えていますか?両辺の係数比較でしたね。iのついているところと,iのついていないところを係数比較すると,次式が得られます。
1=√2cosθ
-1=√2sinθ

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cosθ=1/√2sinθ=-1/√2であることから,次の直角三角形が描けますね。

高校数Ⅲ 複素数平面10 問題 答えの図

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-π≦θ<πに注意すると,θ=-π/4とわかります。

答え
高校数Ⅲ 複素数平面10 問題 解答
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解答は,θの値を求めて終わりではありません。極形式z=|z|(cosθ+isinθ)の形で表すことに注意しましょう。

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複素数の極形式の始まり(2)
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