高校数学Ⅱ

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5分で解ける!3次関数の極値に関する問題に関する問題

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5分で解ける!3次関数の極値に関する問題に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法17 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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3次関数が「x=2で極小値-6をとる」という条件から、定数a,bの値の範囲を求める問題ですね。「極値を持つ」という条件が、いったい何を意味しているのかをおさえましょう。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法17 ポイント

「x=2で極小値をとる」とは?

高校数学Ⅱ 微分法と積分法17 練習

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3次関数がx=2で極小値をとる という意味をよく考えましょう。

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極値をとるときのxの値は、f'(x)=0の実数解でしたね。つまり、 x=2で極小値をとる ことから、 f'(2)=0 がいえるのです。

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f'(x)=3x2+aより、
f'(2)=12+a=0
a=-12 となります。

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このaの値をf'(x)に代入して、
f'(x)=3x2-12
⇔f'(x)=3(x+2)(x-2)
x=-2,2のとき、f'(x)=0となり、f(x)は極値をもちますね。

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x=2で極小値-6を持つので、 x=-2で極大値をもつ ことがわかりました。

「極小値6」からbの値を定めよう

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f(x)=x3-12x+bでは、まだbの値がわかりませんね。「x=2で極小値-6を持つ」という条件から定めていきましょう。

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f(2)=23-12×2+b=-6
よって b=10 です。

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後は極大値を求めるだけですね。
x=-2で極大値となるので、
f(-2)=(-2)3-12×(-2)+10= 26
と求まります!

答え
高校数学Ⅱ 微分法と積分法17 練習 答え
3次関数の極値に関する問題
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