3次関数が「x=2で極小値-6をとる」という条件から、定数a,bの値の範囲を求める問題ですね。「極値を持つ」という条件が、いったい何を意味しているのかをおさえましょう。

3次関数がx=2で極小値をとる という意味をよく考えましょう。

極値をとるときのxの値は、f'(x)=0の実数解でしたね。つまり、 x=2で極小値をとる ことから、 f'(2)=0 がいえるのです。

f'(x)=3x²+aより、
f'(2)=12+a=0
a=-12 となります。

このaの値をf'(x)に代入して、
f'(x)=3x²-12
⇔f'(x)=3(x+2)(x-2)
x=-2,2のとき、f'(x)=0となり、f(x)は極値をもちますね。

x=2で極小値-6を持つので、 x=-2で極大値をもつ ことがわかりました。

f(x)=x³-12x+bでは、まだbの値がわかりませんね。「x=2で極小値-6を持つ」という条件から定めていきましょう。

f(2)=2³-12×2+b=-6
よって b=10 です。

後は極大値を求めるだけですね。
x=-2で極大値となるので、
f(-2)=(-2)³-12×(-2)+10= 26
と求まります！