3次関数の最大値・最小値を求める問題です。最大値・最小値を求めるには、グラフの概形をサッと書く必要があります。グラフを書く時のポイントは次の通りでした。

y=-x³+3x²+9xについて、-3≦x≦4の範囲での最大値と最小値をグラフを書いて求めます。

まず、3次関数が極値をもつかどうかを調べる必要がありますね。
y'=-3x²+6x+9
=-3(x²+2x+3)
=-3(x-3)(x+1)
より、y'=0は、x=-1とx=3の異なる2実数解を持ちます。
つまり、3次関数は極値をもつことがわかりました。

次に、 x³の係数が＋か－か を見極め、グラフを書きましょう。今回は、 -x³の係数は-1で0より小さい ので、 下がって、上がって、下がるグラフ になりますね。

極大値と極小値はどうなるかわかりますか？　 下がって、上がって、下がるグラフ をイメージすると、 x=-1で極小値 、 x=3で極大値 とわかりますね。

また、この問題では、-3≦x≦4の範囲で最大値と最小値を考えます。左端点は x=-3 、右端点は x=4 です。

x=-3,-1,-1,4のときのyの値を求めると次のようになりますね。

求めた情報をもとにグラフをかいてみましょう。

あとはこのグラフを見ながら、最大値と最小値を探しましょう。 最大値はx=±3でy=27、最小値はx=-1でy=-5 と求まりますね。