高校数学Ⅱ

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5分で解ける!極値をもつ3次関数のグラフと最大・最小に関する問題

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5分で解ける!極値をもつ3次関数のグラフと最大・最小に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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3次関数の最大値・最小値を求める問題です。最大値・最小値を求めるには、グラフの概形をサッと書く必要があります。グラフを書く時のポイントは次の通りでした。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 ポイント

y'=0が異なる2実数解を持つか調べよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 練習

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y=-x3+3x2+9xについて、-3≦x≦4の範囲での最大値と最小値をグラフを書いて求めます。

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まず、3次関数が極値をもつかどうかを調べる必要がありますね。
y'=-3x2+6x+9
=-3(x2+2x+3)
=-3(x-3)(x+1)
より、y'=0は、x=-1とx=3の異なる2実数解を持ちます。
つまり、3次関数は極値をもつことがわかりました。

x3の係数をみてグラフの概形を判断

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次に、 x3の係数が+か-か を見極め、グラフを書きましょう。今回は、 -x3の係数は-1で0より小さい ので、 下がって、上がって、下がるグラフ になりますね。

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極大値と極小値はどうなるかわかりますか?  下がって、上がって、下がるグラフ をイメージすると、 x=-1で極小値x=3で極大値 とわかりますね。

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また、この問題では、-3≦x≦4の範囲で最大値と最小値を考えます。左端点は x=-3 、右端点は x=4 です。

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x=-3,-1,-1,4のときのyの値を求めると次のようになりますね。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 練習 答え8行目まで
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求めた情報をもとにグラフをかいてみましょう。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 例題 答えの図のみ
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あとはこのグラフを見ながら、最大値と最小値を探しましょう。 最大値はx=±3でy=27、最小値はx=-1でy=-5 と求まりますね。

答え
高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 練習 答え
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極値をもつ3次関数のグラフと最大・最小
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