今回のテーマは「極値をもつ3次関数のグラフと最大・最小」です。

3次関数の最大値・最小値を求めるには、 グラフを素早く書く 必要があります。増減表を毎回書いていると時間のロスが大きいですよね。極値をもつ3次関数のグラフをかくコツを伝授しましょう。

ただし、このポイントを読んでサッと理解できる人は少ないと思います。このポイントのうち、大事な点は２つあります。詳しく解説していきましょう。

まずは、 ①f(x)が極値をもつときのxの値 を調べにいきます。

3次関数f(x)=ax³+bx²+cx+dを微分します。f'(x)は2次式になりますね。 f'(x)=0が異なる2解α、β(α＜β)をもつ とき、 f(x)の極値は、f(α)とf(β)になります ね。

ただし、ここではまだ、 f(α)、f(β)のどちらが極大値で、どちらが極小値か はわからないわけです。

次に見極めるポイントは、 ②x³の係数が＋か－か です。 x³の係数が＋か－か によって、グラフは次の２パターンにわかれます。

すなわち、「㋐a＞0」ならば、「上がって、下がって、上がるグラフ」になります。α＜βより、グラフで考えると x=αで極大値、x=βで極小値 をとることがわかりますね。

そして、「㋑a＜0」ならば、「下がって、上がって、下がるグラフ」になります。α＜βより、グラフで考えると x=αで極小値、x=βで極大値 をとることがわかりますね。

このように3次関数f(x)のグラフは、まず ①f(x)が極値をもつときのxの値 を調べます。さらに、 ②x³の係数が＋か－か で２パターンのグラフをかきわければよいのです。

グラフの概形と極値がわかれば、最大値・最小値もすぐに求めることができます。実際に問題を解いていきましょう。