高校数学Ⅱ

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5分で解ける!極値をもつ3次関数のグラフと最大・最小に関する問題

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5分で解ける!極値をもつ3次関数のグラフと最大・最小に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分14 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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3次関数の最大値・最小値を求める問題ですね。最大値・最小値を求めるには、グラフの概形をサッと書く必要があります。グラフを書く時のポイントは次の通りでした。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 ポイント

y'=0が異なる2実数解を持つか調べよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 例題

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y=x3+3x2について、-1≦x≦2の範囲での最大値と最小値をグラフを書いて求めます。

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まず、3次関数が極値をもつかどうかを調べる必要がありますね。
y'=3x2+6x
=3x(x+2)
より、y'=0は、x=0とx=-2の異なる2実数解を持ちます。
つまり、3次関数は極値をもつことがわかりました。

x3の係数をみてグラフの概形を判断

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次に、 x3の係数が+か-か を見極め、グラフを書きましょう。今回は、 x3の係数は0より大きい ので、 上がって、下がって、上がるグラフ になりますね。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 例題 答えの図 座標はすべて消す
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グラフから x=-2で極大値x=0で極小値 とわかりますね。
極大値y=-8+12=4
極小値y=0+0=0
となります。

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また、この問題では、-1≦x≦2の範囲で最大値と最小値を考えます。左端点は x=-1の時y=2 、右端点は x=2の時y=20 となります。これらをグラフにまとめると、図のようになりますね。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 例題 答えの図のみ
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あとはこのグラフを見ながら、最大値と最小値を探しましょう。 最大値はx=2でy=20、最小値はx=0でy=0 と求まりますね。

答え
高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 例題 答え
極値をもつ3次関数のグラフと最大・最小
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