高校数学Ⅱ
5分で解ける!極値をもつ3次関数のグラフと最大・最小に関する問題
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この動画の問題と解説
例題
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例題の解説授業
POINT
![高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/6_2_14_2/k_mat_2_6_2_14_1_image01.png)
y'=0が異なる2実数解を持つか調べよう
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y=x3+3x2について、-1≦x≦2の範囲での最大値と最小値をグラフを書いて求めます。
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まず、3次関数が極値をもつかどうかを調べる必要がありますね。
y'=3x2+6x
=3x(x+2)
より、y'=0は、x=0とx=-2の異なる2実数解を持ちます。
つまり、3次関数は極値をもつことがわかりました。
x3の係数をみてグラフの概形を判断
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次に、 x3の係数が+か-か を見極め、グラフを書きましょう。今回は、 x3の係数は0より大きい ので、 上がって、下がって、上がるグラフ になりますね。
![高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 例題 答えの図 座標はすべて消す](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/6_2_14_2/k_mat_2_6_2_14_2_image02.png)
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グラフから x=-2で極大値 、 x=0で極小値 とわかりますね。
極大値y=-8+12=4
極小値y=0+0=0
となります。
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また、この問題では、-1≦x≦2の範囲で最大値と最小値を考えます。左端点は x=-1の時y=2 、右端点は x=2の時y=20 となります。これらをグラフにまとめると、図のようになりますね。
![高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 例題 答えの図のみ](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/6_2_14_2/k_mat_2_6_2_14_2_image03.png)
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あとはこのグラフを見ながら、最大値と最小値を探しましょう。 最大値はx=2でy=20、最小値はx=0でy=0 と求まりますね。
答え
![高校数学Ⅱ 微分法と積分法14 例題 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/6_2_14_2/k_mat_2_6_2_14_2_image04.png)
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3次関数の最大値・最小値を求める問題ですね。最大値・最小値を求めるには、グラフの概形をサッと書く必要があります。グラフを書く時のポイントは次の通りでした。