高校数学Ⅱ

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5分で解ける!関数 f(x) の増減表の作り方に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分12 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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増減表を具体的に作ってみましょう。関数f(x)の増減は、f'(x)の符号によって調べることができますね。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法12 ポイント

導関数f'(x)の符号を調べよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法12 例題

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増減表を作る前に、まずは 導関数f'(x)の符号 を調べましょう。

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f'(x)=3x2-6x
f'(x)=3x(x-2)
符号を調べるため、因数分解をしました。

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関数f(x)は
f'(x)=3x(x-2)≧0増加
f'(x)=3x(x-2)≦0減少
しますね。

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したがって、f(x)は
x≦0,x≧2増加
0≦x≦2減少
となります。

3段重ねの増減表をつくろう

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関数f(x)の増減がわかったので、増減表をつくっていきます。増減表は、 最初に、x,f'(x),f(x)の欄を書きます。

高校数学Ⅱ 微分法と積分12 例題 答えの増減表のうち、一番左の列のみうめる あとの列は空欄
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3段重ねの表ができましたね。上から1行目の「xの欄」には、 節目になるxの値 を入れていきます。今回、f(x)の値は、x=0とx=2を分岐点に増減が分かれましたね。

高校数学Ⅱ 微分法と積分12 例題 答えの増減表のうち、一番左の列と一番上の行のみうめる あとは空欄
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次に、上から2行目の「f'(x)の欄」をうめます。xが0,2の時、f'(x)の値は両方とも0ですね! さらに、f'(x)は x≦0,x≧2 の時に増加するので、該当するマスに を書きます。f'(x)は 0≦x≦2 の時に減少するので、該当するマスに を書きます。

高校数学Ⅱ 微分法と積分12 例題 答えの増減表のうち、一番左の列と1~2行のみうめる あとは空欄
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最後に一番下の行、「f(x)の欄」をうめて仕上げます。f'(x)がプラスの時は ↗(右上がり) 、-の時は ↘(右下がり) の記号をいれましょう。そしてx=0,2の時、f(x)の値をそれぞれ求めてうめます。
f(0)=0
f(2)=8-12=-4
それぞれ表に記入すれば、増減表は完成です。

答え
高校数学Ⅱ 微分法と積分法12 例題 答え
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増減表をつくると何に役立つのか、気になりませんか? 増減表は、xの値に応じて、f(x)の値がどのように変化していくかを一覧にした表 です。この表を見ると、f(x)の値が上がって(↗)、下がって(↘)、上がる(↗)ことがわかりますよね。つまり、増減表によって、グラフがイメージできるわけです。

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f(0)、f(2)の値もわかっているので、具体的なグラフをかくこともできますよね。増減表を書く手順をしっかり身につけておきましょう。

関数 f(x) の増減表の作り方
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          関数の増減と極値

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