高校数学Ⅱ

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5分で解ける!グラフを活用する不等式の証明に関する問題

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5分で解ける!グラフを活用する不等式の証明に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分16 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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3次式の不等式を証明する問題ですね。y=f(x)のグラフが「x軸より上側にあれば、yの値は正」であることを活用して解いていきましょう。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法16 ポイント

導関数f'(x)から、f(x)の増減を調べる

高校数学Ⅱ 微分法と積分法16 例題

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まずは、f(x)=x3-3x2+4とおき、y=f(x)のグラフを書いていきます。 範囲がx≧0である ことも忘れないようにしておきましょう。

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f'(x)=3x2-6x
⇔f'(x)=3x(x-2)より、
x=0,2のとき、f'(x)=0となり、f(x)は極値をもちますね。

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x=0とx=2のどちらで極大値をとるかわかりますか? f(x)=x3-3x2+4における x3の係数 を見れば判断できますね。 x3の係数が正 なので、グラフは「 上がって、下がって、上がる 」。

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つまり、 x=0で極大、x=2で極小 です。
極大値f(0)=4
極小値f(2)=0
となります。

グラフを書いて、x軸の上側に注目

高校数学Ⅱ 微分法と積分法16 例題

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y=x3-3x2+4のグラフを書くための材料はそろいましたね。
上がって、下がって、上がるグラフ で、 極大値f(0)=4極小値f(2)=0 となります。 範囲がx≧0である ことにも注目すると、次の図のようなグラフが書けますね。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法16 例題 答えの図のみ
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このグラフをかくことがポイントなんです。 x≧0では常にグラフはx軸の上側にある ので、 x≧0のときf(x)≧0 が示せました。等号成立は、f(x)=0の時、すなわちx軸との交点になります。 x=2 とわかりますね

答え
高校数学Ⅱ 微分法と積分法16 例題 答え
グラフを活用する不等式の証明
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