高校数学Ⅱ
5分で解ける!グラフを活用する不等式の証明に関する問題
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POINT
![高校数学Ⅱ 微分法と積分法16 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/6_2_16_3/k_mat_2_6_2_16_1_image01.png)
導関数f'(x)から、f(x)の増減を調べる
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まずは、f(x)=x3+3x2-9x+5とおき、y=f(x)のグラフを書いていきます。 範囲がx≧0である ことも忘れないようにしておきましょう。
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f'(x)=3x2+6x-9
⇔f'(x)=3(x+3)(x-1)より、
x=-3,1のとき、f'(x)=0となり、f(x)は極値をもちますね。
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x=-3とx=1のどちらで極大値をとるかわかりますか? f(x)における x3の係数 を見れば判断できますね。 x3の係数が正 なので、グラフは「 上がって、下がって、上がる 」。
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つまり、 x=-3で極大、x=1で極小 です。
極大値f(-3)=32
極小値f(1)=0
となります。
グラフを書いて、x軸の上側に注目
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y=x3+3x2-9x+5のグラフを書くための材料はそろいましたね。
上がって、下がって、上がるグラフ で、 極大値f(-3)=32 、 極小値f(1)=0 となります。 範囲がx≧0である ことにも注目すると、次の図のようなグラフが書けますね。
![高校数学Ⅱ 微分法と積分法16 練習 答えの図のみ](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/6_2_16_3/k_mat_2_6_2_16_3_image02.png)
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x≧0では常にグラフはx軸の上側にある ので、 x≧0のときf(x)≧0 が示せました。等号成立は、f(x)=0の時、すなわちx軸との交点になります。 x=1 とわかりますね。
答え
![高校数学Ⅱ 微分法と積分法16 練習 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/6_2_16_3/k_mat_2_6_2_16_3_image03.png)
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3次式の不等式を証明する問題ですね。y=f(x)のグラフが「x軸より上側にあれば、yの値は正」であることを活用して解いていきましょう。