3次方程式が 異なる3つの実数解の個数をもつ という条件から、定数aの値の範囲を求める問題です。「 異なる3つの実数解の個数をもつ 」ことが何を意味するのかよく考えましょう。

「 異なる3つの実数解の個数をもつ 」ということは、「 y=f(x)のグラフとx軸との共有点の個数が３個になる 」ということですね。x軸との共有点の個数が３個になるよう、aの範囲を定めていきます。

f(x)=x³+3x+aとおき、y=f(x)の3次関数のグラフで考えていきます。まずは微分して、f(x)の増減について調べましょう。

f'(x)=3x²-6x
⇔f'(x)=3x(x-2)より、
x=0,2のとき、f'(x)=0となり、f(x)は極値をもちますね。

x=0とx=2のどちらで極大値をとるかわかりますか？ f(x)=x³+3x+aにおける x³の係数 を見れば判断できますね。 x³の係数が正 なので、グラフは次のような概形になります。

グラフから、 x=0で極大、x=2で極小 とわかりました。
極大値f(0)=a
極小値f(2)=a-4
となります。

では、どのようなグラフであれば、実数解すなわち共有点を3つもつのかを考えてみましょう。このグラフは「上がって、下がって、上がるグラフ」です。共有点を3つもつようにするには、次のように考えます。

つまり「 極大値が0より大きい 」かつ「 極小値が0より小さい 」グラフであれば、必ずx軸と異なる3つの実数解を持つわけです。

つまり、
極大値f(0)=a＞0
極小値f(2)=a-4＜0
これらの不等式を解くと、aの値の範囲が定まりますね。