３次関数f(x)のグラフを書く問題です。今回は、増減表をつかわず、極値を求めたら直接グラフを書いてみましょう。

f(x)=-x³+3x²+1とおきます。まずは 導関数f'(x) を調べましょう。

f'(x)=-3x²+6x
⇔ f'(x)=-3x(x-2)
f'(x)は、x=0,2でx軸と交わる2次関数のグラフとなりますね。

f'(x)のグラフを見ると、
x≦0,2≦x のとき f'(x)≦0
つまり f(x)はx≦0,2≦xの範囲で減少 します。
0≦x≦2 のとき f'(x)≧0
つまり f(x)は0≦x≦2の範囲で増加 します。

よって、f(x)のグラフは 下がって、上がって、下がる グラフになります。

さらに、 f'(x)の符号が変わる分岐点となるx=0とx=2 に注目します。 f(x)が極値をとるときのxの値 がわかります。
極小値f(0)=0+0+1=1
極大値f(2)=-8+12+1=5
グラフを書く素材がそろいましたね。

f(x)の増減と、極値からグラフを書くと次のようになります。