関数f(x)の増減を調べ、極値を求める問題ですね。ポイントは次の通りでしたね。

例題を一緒に解きながら、このポイントの使い方を確認していきましょう。

増減表を作る前に、まずは 導関数f'(x) を調べましょう。

f'(x)=3x²-3
⇔ f'(x)=3(x+1)(x-1)
f'(x)は、x=-1,1でx軸と交わる2次関数のグラフとなりますね。

f'(x)のグラフを見ると
-1≦x≦1 のとき f'(x)≦0
つまり f(x)は-1≦x≦1の範囲で減少 します。
x≧1,x≦-1 のとき f'(x)≧0
つまり f(x)はx≧1,x≦-1の範囲で増加 します。

さらに、 f'(x)の符号が変わる分岐点となるx=1とx=-1 に注目してください。 f(x)が極値をとるときのxの値だとわかります。

増減表をつくって、極値を求めましょう。
f(-1)=-1+3+2=4
f(1)=1-3+2=0
より、次のように表せます。

上がって、下がる分岐点のf(α)が極大値 です。
増減表から x=-1で極大値が4 とわかりますね。

下がって、上がる分岐点のf(β)が極小値 です。
増減表から x=1で極小値が0 とわかりますね。