高校数学Ⅱ
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5分でわかる!常用対数の応用(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

常用対数の応用(1)

高校数学Ⅱ 指数関数・対数関数23 ポイント

これでわかる!

ポイントの解説授業

logを使って、整数の桁数を調べる

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今回のテーマは「常用対数の応用(1)」です。
常用対数 とは、 log10 のことを指します。log10を使って、整数の桁数を調べるタイプの問題を学習していきましょう。

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例えば、「2の30乗は何桁か」といわれても、パッとは答えられませんよね。どう考えていけばよいのでしょうか。log10を使えば、次のように計算することができます。

POINT
高校数学Ⅱ 指数関数・対数関数23 ポイント
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ポイントについて詳しく解説していきます。

10n-1≦(n桁の数)<10n

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まずは、少し具体的に考えてみましょう。3桁の数753を、桁数がよくわかるように表すと、次のように書けます。

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102=100≦753(3桁)<1000=103
左側の数100は、3桁の数の一番最初。753はこの100より大きいですね。
右側の数1000は、4桁の数の一番最初。753はこの1000より小さい数です。

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つまり、
102≦(3桁の数)<103
と表すことができますね。
10 3 の部分の 3 が桁数を示すことになります。

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すると
整数Aがn桁の時、
10n-1≦A<10n
ということが言えますね。

n桁を求めるときn-1≦log10A<n

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次に、10を底とする対数、常用対数を使って考えてみましょう。
10n-1≦A<10n
にlog10をつけると、
log1010n-1≦log10A<log1010n
となりますね。

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さらに整理して、
(n-1)log1010≦log10A<nlog1010
n-1≦log10A<n
とできます。

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後はlog10Aを計算すれば、nの値がわかり、整数Aの桁数がわかるというわけです。

POINT
高校数学Ⅱ 指数関数・対数関数23 ポイント
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次の例題では、実際に「2の30乗は何桁か」を求めてみましょう。

Asami
この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

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