高校数学Ⅱ
5分でわかる!常用対数の応用(1)
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- ポイント
- 例題
- 練習
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この動画の要点まとめ
ポイント
常用対数の応用(1)
これでわかる!
ポイントの解説授業
logを使って、整数の桁数を調べる
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例えば、「2の30乗は何桁か」といわれても、パッとは答えられませんよね。どう考えていけばよいのでしょうか。log10を使えば、次のように計算することができます。
POINT
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ポイントについて詳しく解説していきます。
10n-1≦(n桁の数)<10n
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まずは、少し具体的に考えてみましょう。3桁の数753を、桁数がよくわかるように表すと、次のように書けます。
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102=100≦753(3桁)<1000=103
左側の数100は、3桁の数の一番最初。753はこの100より大きいですね。
右側の数1000は、4桁の数の一番最初。753はこの1000より小さい数です。
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つまり、
102≦(3桁の数)<103
と表すことができますね。
10 3 の部分の 3 が桁数を示すことになります。
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すると
整数Aがn桁の時、
10n-1≦A<10n
ということが言えますね。
n桁を求めるときn-1≦log10A<n
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次に、10を底とする対数、常用対数を使って考えてみましょう。
10n-1≦A<10n
にlog10をつけると、
log1010n-1≦log10A<log1010n
となりますね。
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さらに整理して、
(n-1)log1010≦log10A<nlog1010
⇔ n-1≦log10A<n
とできます。
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後はlog10Aを計算すれば、nの値がわかり、整数Aの桁数がわかるというわけです。
POINT
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次の例題では、実際に「2の30乗は何桁か」を求めてみましょう。
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今回のテーマは「常用対数の応用(1)」です。
常用対数 とは、 log10 のことを指します。log10を使って、整数の桁数を調べるタイプの問題を学習していきましょう。