中3数学
5分で解ける!空間図形の対角線・高さに関する問題
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練習の解説授業
POINT
![中3 数学240 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/c/3/mat/6_1_240_3/c3_mat_6_1_240_1_image01.png)
立体の中に、直角三角形を見つけよう!
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まず、正四角すいの高さを求めよう。正四角すいの頂点Oから底面ABCDに垂線を引くと、こんな直角三角形が見えてくるよ。
![中3 数学240 練習の答え 問題の図にBGを結んだもの](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/c/3/mat/6_1_240_3/c3_mat_6_1_240_3_image02.png)
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垂線と底面の交点をMとして、直角三角形AMOを使うと、OMの長さが求められそうだね。
ただ、AMの長さがまだ分かっていないよ。
というわけで、例題と同じように、まずは底面について考えよう。
まずは底面を考える!
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/imagawa.png)
問題の立体は 正四角すい だから、四角形ABCDは 正方形 だよ。
そして、点Mは正方形のど真ん中、具体的に言うと、図で引いた 対角線ACの中点 に位置するよ。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/imagawa.png)
ここで、△ABCについて考えて、AMを求めにいこう。
△ABCは ∠B=90° AB=BC=4cm だから、 直角二等辺三角形 だね。
「直角二等辺三角形」と言われてピンとくるかな?
そう、あの 「45°、45°、90°」 の 三角定規 の形だよ。
つまり、辺の長さの比が、
AB:BC:AC=1:1:√2 になるんだ。
よって、 AC=4√2cm と分かるね。
というわけで、 AM =1/2AC= 2√2cm だよ。
道具がそろったら仕上げの計算!
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/imagawa.png)
AMを求めることができたね。
あとは、△AMOにおいて三平方の定理を使えば、正四角すいの高さOMが求められるよ。
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そして、最後は 「(底面積)×(高さ)×1/3」 で、体積を求めよう。
答え
![中3 数学240 練習の答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/c/3/mat/6_1_240_3/c3_mat_6_1_240_3_image03.png)
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/logo_black-a711ae7f4c2af1410b916e7066a5e8950d6f2f3a2150e093b6dc878ad8f31d3f.png)
「三平方の定理と空間図形」 が絡む問題をやってみよう。
ポイントは以下の通りだよ。 直角三角形 を見つけることができれば、 三平方の定理 が使えるよ。