中3数学

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5分で解ける!空間図形の対角線・高さに関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

中3 数学240 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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「三平方の定理と空間図形」 が絡む問題をやってみよう。
ポイントは以下の通りだよ。 直角三角形 を見つけることができれば、 三平方の定理 が使えるよ。

POINT
中3 数学240 ポイント

立体の中に、直角三角形を見つけよう!

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まず、正四角すいの高さを求めよう。正四角すいの頂点Oから底面ABCDに垂線を引くと、こんな直角三角形が見えてくるよ。

中3 数学240 練習の答え 問題の図にBGを結んだもの
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垂線と底面の交点をMとして、直角三角形AMOを使うと、OMの長さが求められそうだね。
ただ、AMの長さがまだ分かっていないよ。
というわけで、例題と同じように、まずは底面について考えよう。

まずは底面を考える!

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問題の立体は 正四角すい だから、四角形ABCDは 正方形 だよ。
そして、点Mは正方形のど真ん中、具体的に言うと、図で引いた 対角線ACの中点 に位置するよ。

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ここで、△ABCについて考えて、AMを求めにいこう。
△ABCは ∠B=90°   AB=BC=4cm  だから、 直角二等辺三角形 だね。
「直角二等辺三角形」と言われてピンとくるかな?
そう、あの 「45°、45°、90°」三角定規 の形だよ。
つまり、辺の長さの比が、
AB:BC:AC=1:1:√2  になるんだ。
よって、 AC=4√2cm  と分かるね。
というわけで、 AM =1/2AC= 2√2cm  だよ。

道具がそろったら仕上げの計算!

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AMを求めることができたね。
あとは、△AMOにおいて三平方の定理を使えば、正四角すいの高さOMが求められるよ。

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そして、最後は 「(底面積)×(高さ)×1/3」 で、体積を求めよう。

答え
中3 数学240 練習の答え
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空間図形の対角線・高さ
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三平方の定理の問題

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