この問題を解くポイントは、 「動名詞の意味上の主語」をしっかりと押さえること です。

意味上の主語が代名詞のとき、 所有格 動詞＋ing の形で表すよ。例えば、his goingのようになるよ。
動名詞が文の主語でないときには、 目的格 動詞＋ing の形も使えるよ。him goingのようになるね。

では問題を見ていこう。

object to 動詞＋ingで「～することに反対する」という意味だよ。
前置詞のto＋動名詞のパターンだね。

joining out partyで「私たちのパーティーに参加すること」という意味だね。

選択肢を見てみると、sheとherがあるね。
「トムは 彼女が パーティーに参加することに反対している」という意味の文章になりそうだよ。
この文の主語は＜トム＞だけど、意味上の主語は＜彼女＞だね。

動名詞の意味上の主語を表すには、動名詞の前に所有格や目的格を置くよ。
＜彼女＞の所有格・目的格はどちらもherだね。カッコにはherを入れよう。

続いて(2)を見てみよう。

speak ill of 人で「人の悪口を言う」という意味だね。
選択肢を見てみると、heとhisがあるから、
「私は、 彼が 他人の悪口を言うのが嫌いだ」という意味になりそうだよ。
この文の主語は＜私＞だけど、意味上の主語は＜彼＞だね。

意味上の主語を表すときは、動名詞の前に、所有格や目的格を置くんだったね。
ここでは、所有格であるhisを選ぼう。今回は選択肢にないけれど、目的格のhimを置くこともできるね。

続いて(3)を見てみよう。

選択肢には、our teamとour team isがあるね。
「私は、 私たちのチームが その試合に勝つことを確信している」という意味の文を作ろう。
文の主語はI＜私＞だけど、＜私たちのチーム＞を表す意味上の主語をカッコに入れよう。

カッコの前に前置詞のofがあることに注目。
前置詞の後ろのカタマリは、動名詞にする んだったね。
もう１つの選択肢、our team is のような主語＋動詞の形は、接続詞の後ろでないと入れられないんだ。
意味上の主語＋動名詞 の形になっている、our team winningを選ぼう。

ちなみに、out team's winningのように所有格にもできるけれど、意味上の主語が代名詞でないときはそのままの形で置くのが普通だよ。