tanθについての不等式です。
「tanθの範囲」と「θの範囲」を円で対応させるのがポイントです。

このポイントを使った解法を確認していきましょう。

tanθ≧-√3に対応する θの範囲 を求める問題です。

まずは tanθ=-√3となるときのθの値 を考えましょう。
tanの符号はマイナスなので、 θは第2,4象限 にありますね。
さらに、tanθ=-√3より、 60°,30°,90°の直角三角形 をxy平面の第2,4象限に貼りつけることができます。

図より、θ=2π/3、5π/3のときにtanθ=-√3となることがわかります。

次に、tanθの値が-√3以上になるθの範囲を考えていきます。ポイントにしたがって円を作成すると、円のまわりにtanの値を書き込むことができますね。

tanθの値が-√3以上になる部分を図から判断しましょう。

第1象限では、すべて正の値なので π/2以外は範囲として含まれます ね。
よって、0≦θ＜π/2が範囲となります。

第2象限では、90°を超えて 負の値から0に向かって値は大きくなる ので、求める範囲は 2π/3≦θ≦π ですね。

第3象限では、すべて正の値なので 3π/2以外は範囲として含まれます ね。
よってπ≦θ＜3π/2が範囲となります。

第4象限では、 tanθの値は負の値からから0に向かって大きくなる ので、求める範囲は 5π/3≦θ＜2π です。