53x+17y=1の整数解を求めよう。この例題では、まず整数解を1組だけ見つけるよ。 互除法 の使い方がカギになるね。

x，yの係数に着目しよう。53と17で、これらの数は 互いに素 だよね。つまり、 53と17の最大公約数は1 になる。最大公約数が1ということは、53と17で互除法を使うと、 必ず最後に「余り1」があらわれる んだ。

53＝17×3+2
17＝2×8 +1
x，yの係数について 「余りが1」 となるまで、互除法を使おう。

「余りが1」となるまで互除法を使うのは、最終的な解答のゴールを次のようにイメージしているからだったね。
53×□+17×○＝ 1
この式にあてはまる整数が1組見つけたいわけだから、「=1」の式をつくるんだね。

でも、「17-2×8=1」ではまだ、ゴールである「53×□+17×○＝1」の式には遠いよね。そこで、
17- 2×8 =1
2×8 に着目して式変形をしていこう。互除法の途中式 53＝17×3+2⇔2＝53-17×3 を、上の式の 2 に代入すると、
17- (53-17×3) ×8=1
⇔53× (-8) +17× 25 ＝1
となるよ。