高校数学A

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5分で解ける!ax+by=1の整数解に関する問題

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5分で解ける!ax+by=1の整数解に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

一緒に解いてみよう

高校数学A 整数の性質29 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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3x+2y=1の整数解をすべて求める問題だね。不定方程式ax+by=1の整数解を求めるには 手順が重要 だよ。次のポイントをしっかりマスターしよう。

POINT
高校数学A 整数の性質29 ポイント

まずは(x,y)を1組見つける!

高校数学A 整数の性質29 例題

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不定方程式ax+by=1の一般解を求めるときには、まず 代入 によって 解を1組だけ見つける んだ。3x+2y=1を満たす整数解1組は、(x,y)=(1,-1)がすぐ見つかるね。

連立方程式のように並べてひく!

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3x+2y=1と、特殊解を代入した式3×1+2×(-1)=1を 並べてひき算 しよう。

高校数学A 整数の性質29 例題の答え 途中式 5行目まで

「互いに素」が使える!

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3(x-1)+2(y+1)= 0
この式をみて、気付いたかな。右辺が 「=0」 の形になってくれたね。「2(y+1)」を移行して、マイナスをカッコの中に入れると、
3(x-1)=2(-y-1)
x-1と-y-1は整数 、そして 3と2は互いに素 だから、 「x-1は2の倍数」「-y-1は3の倍数」 ということが言えるね。

整数kを用いて表す!

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あとは、整数kを用いて一般的な形で表せばOK。
x-1=2k (kは整数) とおくと、
x=2k+1
これを3(x-1)=2(-y-1)に代入すると、y=-3k-1となるよ。

答え
高校数学A 整数の性質29 例題の答え
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最大のポイントは、 〔手順2〕で右辺を「=0」の形にすること 。これによって、 互いに素 の性質が使える形になるんだね。

ax+by=1の整数解
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