高校数学A
5分で解ける!ax+by=1の整数解に関する問題
![高校数学A](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/subject_symbol_border_k0_mathematics_a-105acb0eb8e2c91e69431967298e2e1f961eff61240840fcf27166ef295c9887.png)
- ポイント
- 例題
- 練習
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/components/movie_size-f89110ba4a351d85c483bb12f73c7cf89e2ba13a9174f58b4a38599d28678843.png)
この動画の問題と解説
例題
一緒に解いてみよう
解説
これでわかる!
例題の解説授業
POINT
![高校数学A 整数の性質29 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_a/2_2_29_2/k_mat_a_2_2_29_1_image01.png)
まずは(x,y)を1組見つける!
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/imagawa.png)
不定方程式ax+by=1の一般解を求めるときには、まず 代入 によって 解を1組だけ見つける んだ。3x+2y=1を満たす整数解1組は、(x,y)=(1,-1)がすぐ見つかるね。
連立方程式のように並べてひく!
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/imagawa.png)
3x+2y=1と、特殊解を代入した式3×1+2×(-1)=1を 並べてひき算 しよう。
![高校数学A 整数の性質29 例題の答え 途中式 5行目まで](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_a/2_2_29_2/k_mat_a_2_2_29_2_image02.png)
「互いに素」が使える!
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/imagawa.png)
3(x-1)+2(y+1)= 0
この式をみて、気付いたかな。右辺が 「=0」 の形になってくれたね。「2(y+1)」を移行して、マイナスをカッコの中に入れると、
3(x-1)=2(-y-1)
x-1と-y-1は整数 、そして 3と2は互いに素 だから、 「x-1は2の倍数」「-y-1は3の倍数」 ということが言えるね。
整数kを用いて表す!
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/imagawa.png)
あとは、整数kを用いて一般的な形で表せばOK。
x-1=2k (kは整数) とおくと、
x=2k+1
これを3(x-1)=2(-y-1)に代入すると、y=-3k-1となるよ。
答え
![高校数学A 整数の性質29 例題の答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_a/2_2_29_2/k_mat_a_2_2_29_2_image03.png)
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/imagawa.png)
最大のポイントは、 〔手順2〕で右辺を「=0」の形にすること 。これによって、 互いに素 の性質が使える形になるんだね。
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/logo_black-a711ae7f4c2af1410b916e7066a5e8950d6f2f3a2150e093b6dc878ad8f31d3f.png)
3x+2y=1の整数解をすべて求める問題だね。不定方程式ax+by=1の整数解を求めるには 手順が重要 だよ。次のポイントをしっかりマスターしよう。