高校数学A

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5分で解ける!互除法を使う「ax+by=1の特殊解」に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

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高校数学A 整数の性質30 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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29x+13y=1の整数解を1組だけ見つけよう。 互除法 の使い方がカギになるよ。

POINT
高校数学A 整数の性質30 ポイント

互いに素なら、必ず最後に「余り1」があらわれる

高校数学A 整数の性質30 例題

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x,yの係数に着目しよう。29と13で、これらの数は 互いに素 だよね。つまり、 29と13の最大公約数は1 になる。最大公約数が1ということは、29と13で互除法を使うと、 必ず最後に「余り1」があらわれる んだ。

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29=13×2+3
13=3×4 +1
x,yの係数について 「余りが1」 となるまで、互除法を使おう。

「=1」の形が重要

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なぜ、「余りが1」となるまで互除法を使うかというと、最終的な解答のゴールを次のようにイメージしているからなんだ。
29×□+13×○= 1
この式にあてはまる整数が1組見つけたいわけだから、「=1」の式をつくるんだね。

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29,13について互除法を使うことで、
13=3×4 +1
⇔13-3×4= 1
=1 の部分が共通した式がつくれたね。

「29×□+13×○=1」を目指して式変形

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でも、「13-3×4=1」ではまだ、ゴールである「29×□+13×○=1」の式には遠いよね。そこで、
13- 3×4 =1……①
3×4 に着目して式変形をしていこう。互除法の途中式 29=13×2+3⇔3=29-13×2 を、上の式①の 3 に代入すると、
13- (29-13×2) ×4=1
⇔29× (-4) +13× 9 =1
となるよ。

答え
高校数学A 整数の性質30 例題の答え
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