水素原子の軌道半径rを求める問題です。軌道電子について、 運動方程式 と 量子条件 の2つの観点から式を立て、求めていきましょう。

まずは陽子のまわりを電子が円運動する図を描いてみましょう。軌道半径rを求めるためには、電子の 運動方程式 を立てる必要がありますね。電子は接線方向に速度vで進むとし、陽子から引力Fを受けます。また加速度aは円の中心方向ですね。

電子が受ける引力Fは クーロン力 です。したがって、運動方程式は、

となります。この式を①としましょう。①式で未知の値は軌道半径rと速度vなので、もう一つ式が必要です。

次に、軌道電子の 量子条件 を考えます。量子条件とは電子を波と考えたとき、軌道上に電子の波が滑らかにつながるときの条件式でした。 円周2πrが、波長λ=h/mvの自然数倍となる のでしたね。

この式を②とします。②をvについて解き、①に代入してrを求めましょう。

軌道半径rを求めることができましたね。 この式で重要なのはn²です。nは自然数なので、 軌道半径は飛び飛びの値である ということが分かります。軌道半径rの分数部分はただの定数であり、重要なのはn²ということを押さえておきましょう。