高校物理

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5分で解ける!エネルギー準位に関する問題

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5分で解ける!エネルギー準位に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

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高校物理 原子8 練習 全部

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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量子条件を満たしているときの電子の状態を 定常状態 といい、定常状態における電子のエネルギーを エネルギー準位 と言います。ようするに、この問題では、電子の力学的エネルギーを求めればよいのです。

運動エネルギーKと位置エネルギーUの和を考える

高校物理 原子8 練習 全部

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まず、水素原子の図を描くと下のようになります。

高校物理 原子8 練習 図

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この軌道電子がもつ力学的エネルギーEは、 運動エネルギーKと位置エネルギーUの和 となりますね。

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運動エネルギーK は、
K=1/2mv2
となります。

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では、 位置エネルギーU はどうなるでしょうか? 荷電粒子の位置エネルギー は、 (電気量q)×(電位V) で求められましたね。電気量は-e、電位はk×(e/r)なので、
U=(−e)×(ke/r)
となります。

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したがって、力学的エネルギーEは、
E=K+U
E=1/2mv2+(−e)×(ke/r)

運動方程式からmv2を消去する

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ここで、式の中にあるmv2に注目しましょう。mv2は、軌道電子の運動方程式の中にも含まれていましたね。

高校物理 原子7 ポイント1 クマさんのまとめ 空欄埋める

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運動方程式より、
mv2=ke2/r
として、力学的エネルギーEの式に代入します。
E=1/2mv2+(−e)×(ke/r)
⇔E=(1/2)ke2/r+(−e)×(ke/r)
E=(-1/2)ke2/r

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エネルギーは半径rの関数として表すことができました。

半径rnの式を代入しよう

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E=(-1/2)ke2/r の式に、問題文で与えられている半径rnの式を代入すると、エネルギー準位Enの式になります。

答え
高校物理 原子8 練習 答えすべて
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この式において、分数部分は定数であり、 大切なのは1/n2 です。n=1,2,3,……と代入すると、電子の持つエネルギーが飛び飛びの値を取ることがわかります。

エネルギー準位
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