前回の授業では、水素原子における電子の軌道半径rを求めましたね。今回は、この軌道電子の持つ力学的エネルギーの求め方を解説しましょう。

下の図の水素原子をモデルに考えます。原子核の中には+e[C]の電荷を持つ陽子が1つあり、そのまわりを電気量−e[C]、質量m[kg]の電子が速さvで等速円運動しています。

この軌道電子がもつ力学的エネルギーEは、 運動エネルギーKと位置エネルギーUの和 となりますね。

運動エネルギーK は、
K=1/2mv²
となります。

では、 位置エネルギーU はどうなるでしょうか？ 荷電粒子の位置エネルギー は、 (電気量q)×(電位V) で求められましたね。電気量は-e、電位はk×(e/r)なので、
U=(−e)×(ke/r)
となります。

したがって、力学的エネルギーEは、
E=K+U
⇔ E=1/2mv²+(−e)×(ke/r)

ここで、式の中にあるmv²に注目しましょう。mv²は、軌道電子の運動方程式の中にも含まれていましたね。

運動方程式より、
mv²＝ke²/r
として、力学的エネルギーEの式に代入します。
E=1/2mv²+(−e)×(ke/r)
⇔E=(1/2)ke²/r+(−e)×(ke/r)
⇔ E=(-1/2)ke²/r

軌道電子の力学的エネルギーを半径rの式で表すことができました。このとき、軌道電子の半径rは飛び飛びの値をとることを思い出しましょう。 エネルギーも飛び飛びの値をとる ということがわかります。