ピストンつきのシリンダー内の気体の状態変化に関する問題です。ピストンはなめらかに移動できます。ピストンにどんな力がはたらいているのか注意しながら解いていきましょう。

(1)は容器内の気体の圧力を求める問題です。まずは図に問題文で与えられている情報を書き入れましょう。

注目すべきはピストンです。ピストンは静止しているので、 力がつりあっている 状態ですね。 下向き には 重力mg のほか、大気がピストンを押す力がはたらきます。(圧力)×(面積)=(力)より、 下向き に 大気がピストンを押す力はP₀S ですね。一方、気体の圧力をPとおくと、 上向き に 気体がピストンを押し上げる力はPS となります。

ピストンにはたらく3つの力がつりあうので、
PS=P₀S+mg
より、Pを求めることができますね。

(2)では、気体を熱したところ、膨張して高さが変わりました。図に表すと次のようになります。

ここで、この状態変化は 定圧変化 とみなせることに気付けるでしょうか。下向きにはたらく重力mgと大気圧による力P₀Sは変化前後で同じなので、それらとつりあう上向きの気体が押し上げる力も同じ大きさでなくてはなりません。つまり、これは前後ではたらく圧力が一定の 定圧変化 となるのです。

では内部エネルギーの増加ΔUを求めていきましょう。与えられていない情報は、それぞれモル数をn、最初の温度をT、最後の温度をT'とおきます。

途中でnRTの形がでてきたら、状態方程式nRT=PVに書き換えることができますね。この問題では(体積V)=(断面積S)×(高さh)に変換します。さらに(1)で求めたPの式を代入すると答えが求められます。

最後に吸収熱Q_inを求めましょう。求め方は2つあります。

1つめは、すでに内部エネルギーの増分ΔUを求めたので、気体が外にする仕事W_outを求めて、熱力学第一法則Q_in=ΔU+W_outを使う方法。2つめは、定圧変化の吸収熱について、公式Q_in=nC_PΔTで求める方法。

今回は簡単な2つ目の方法で答えを導きましょう。状態方程式とC_P=(3/2)R+Rを使うと、以下のようになります。