5分で解ける!気体の仕事、P-Vグラフの面積に関する問題
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この動画の問題と解説
練習
解説
圧力は2P0で一定
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(1)は気体が外部にした仕事Wout、内部エネルギーの増分ΔU、気体の吸収熱Qinを求める問題です。AからBの状態変化のグラフに注目してみましょう。
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圧力は2P0で一定 です。このとき、気体が外にした仕事Woutは 2P0ΔV で求めることができますね。体積の変化ΔVは、後の体積2V0から前の体積V0を引くことで求められます。
![熱力学18 練習 (1)左側1−3行目 修正あり](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/sci_phy/2_4_18_3/k_sci_phy_2_4_18_3_image04.png)
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あるいはグラフを利用すると、 仕事はグラフとV軸で囲まれた面積 で 2P0ΔV となります。
式の中のnRTはPVで置き換える
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次に、内部エネルギーの増分ΔUはどうなるでしょうか?
ΔU=nCVΔT=n×(3/2)R×(TB-TA)
で求めていきたいのですが、モル数nも温度変化(TB-TA)も与えられてません。
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そこで問題文で与えられている圧力Pと体積Vで表すことを考えましょう。ΔU=n×(3/2)R×(TB-TA)という式をよく見るとnRTの形がありますね。 状態方程式 から nRT=PV に置き換えることができますn×(3/2)R×(TB-TA)。
![熱力学18 練習 (1)中央1−3行目、右側1−2行目をつなげる](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/sci_phy/2_4_18_3/k_sci_phy_2_4_18_3_image05.png)
(内部エネルギーの増分)+(気体が外部にした仕事)
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最後に吸収熱Qinを求めましょう。 熱力学第一法則 より、
Qin=ΔU+Wout
です。すでに気体が外にした仕事Woutと内部エネルギーの増分ΔUを求めているので、代入すればよいですね。
![熱力学18 練習 (1)右側3−5行目](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/sci_phy/2_4_18_3/k_sci_phy_2_4_18_3_image06.png)
P−Vグラフの面積から仕事を求める
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(2)はAからCの過程を考えます。この過程だけ抜き出したグラフが下のようになります。
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気体が外部にした仕事Woutは、圧力が変化しているので、 PVグラフとV軸で囲まれた面積 を計算しましょう。
![熱力学18 練習 (2)解答1−2行目](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/sci_phy/2_4_18_3/k_sci_phy_2_4_18_3_image09.png)
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次に内部エネルギーの増分ΔUを考えましょう。Cの温度をTCとおくと内部エネルギーの増分は、
ΔU=nCVΔT=nCV(TC-TA)
モル数nと温度変化(TC-TA)は未知の値なので、(2)と同様に圧力Pと体積Vで表すことを考えましょう。 状態方程式 から nRT=PV に置き換えることができます。
![熱力学18 練習 (2)解答3行目以降](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/sci_phy/2_4_18_3/k_sci_phy_2_4_18_3_image10.png)
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ΔU=0より、内部エネルギーの変化はなかったことがわかりました。
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最後に吸収熱Qinを求めましょう。 熱力学第一法則 より、
Qin=ΔU+Wout
です。すでに気体が外にした仕事Woutと内部エネルギーの増分ΔUを求めているので、代入すればよいですね。
![熱力学18 練習 (2)解答右側1−2行目](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/sci_phy/2_4_18_3/k_sci_phy_2_4_18_3_image11.png)
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気体の状態変化をP-Vグラフで考える問題です。AからBへの変化、AからCへの変化が直線であることに注目して問題を解いていきましょう。