鉛直ばね振り子における位置xでの運動方程式は、
ma=−kx
であり、この式から鉛直ばね振り子が単振動であると言えましたね。ここでは、 鉛直ばね振り子の位置エネルギー がどう表現されるかを考えていきましょう。

位置エネルギーは、重力や弾性力などの 保存力 が行った仕事として定義されるエネルギーです。重力による位置エネルギーはmgh、ばねの弾性力による位置エネルギーは(1/2) kx²でした。

今回の鉛直ばね振り子で登場したkx[N]は、見た目は弾性力と同じ形です。よって、この力によって決まる位置エネルギーも
(1/2)kx²
で表されるのです。 ばねにはたらく力と見かけ上同じ形なので、位置エネルギーも同じように表すことができる ということをしっかりと覚えてください。

ちなみに、鉛直ばね振り子の位置エネルギーは、重力の位置エネルギーと弾性力の位置エネルギーの2種類に分けて考えることもできます。これらを別々に扱って計算しても、最終的には鉛直ばね振り子の位置エネルギーは同じ (1/2)kx² になります。

ここで、よくみなさんが間違える点を注意しておきたいと思います。 鉛直ばね振り子の式のx は、自然長からの距離ではなく、 つりあいの位置から測った距離 である点です。

位置エネルギーの基準点は、原点(つり合いの位置)となるのです。