高校物理

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5分でわかる!単振り子

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この動画の要点まとめ

ポイント

単振り子

高校物理 運動と力89

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回は 単振り子 について解説していきます。単振り子とは 単振動とみなせる振り子 の運動のことを言います。

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振り子をふると左右に振動しますね。ただし、それだけでは振り子の運動は単振動とは言えません。振れの角度が大きいときは単振動とは言えないのです。 振れの角度が小さい微小振動 のとき、おもりが描く軌道は直線に近くなり、 単振動 ということができます。

接線方向にはたらく力≒水平方向にはたらく力

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下の図では、長さℓの糸に質量mの物体が取り付けられています。

高校物理 運動と力89 図のみ

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糸が鉛直状態になり、物体が最下点にある位置を原点x=0とします。ここから物体の運動を捉えるために、水平方向(x方向)の運動方程式を立てていきましょう。

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最下点から糸のなす角θだけ進んだ位置を考えます。このとき、物体には鉛直方向下向きに重力mg[N]、そして糸が引っ張り上げる張力S[N]がはたらきますね。ただし、張力S[N]は、物体の進行方向に対して常に垂直であるので、考慮しなくてもよいのです。物体の進行方向である接線方向にはたらく力を考えましょう。

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x軸の右向きをプラスとし、加速度をaとおきます。重力を分解すると、
重力の中心方向の成分:mgcosθ
重力の接線方向の成分:mgsinθ
となりますね。

接線方向にはたらく力≒水平方向にはたらく力

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ここで、θのなす角度がとても小さく、ほぼ0だったとします。θ≒0のとき、 接線方向にはたらく力mgsinθは、ほぼ水平方向にはたらく力 だと考えることができます。図で、角θをどんどん小さくして0に近づけると、物体はx軸上を運動すると考えることができるのです。

高校物理 運動と力89 図のみ

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x方向にはたらく力は、接線方向の力に等しいと考えることができます。したがって、x方向の運動方程式は以下のようになります。
ma=−mgsinθ
接線方向にはたらく力は左向きなので、マイナスをつけることを忘れないようにしてください。

sinθをℓ,gで表すと……

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さて、ここでsinθを別の値に置きかえることを考えてみましょう。図をもう一度見てください。

高校物理 運動と力89 図のみ

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θを角にもつ斜辺ℓ、高さxの直角三角形ができるので、
sinθ=x/ℓ
と表されます。運動方程式ma=−mgsinθに代入すると
ma=(−mgx)/ℓ
となりますね。ここで、mg/ℓ=Kとおくと、
ma=−Kx
となり、この運動が 単振動する ことが証明できました。

単振り子の角速度ωと周期Tは?

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運動方程式から加速度aは
a=(gx)/ℓ
となります。a=−ω2xを代入すると、
ω2=g/ℓ
ω=√(g/ℓ)
となり、角速度ωが求められます。ωがわかれば、周期T=2π/ωに代入して、次の値がでてきます。

高校物理 運動と力89 クマさんのまとめ 空欄埋める

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この式をよく見ると、周期Tは重力gと糸の長さℓによって決まりますね。つまり 物体の質量は全く関係ない ことがわかります。

Suzuki

この授業の先生

鈴木 誠治 先生

知識ゼロからでもわかるようにと、イラストや図をふんだんに使い、難解な物理を徹底的にわかりやすく解きほぐして伝える。

単振り子
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