今回は 単振り子 について解説していきます。単振り子とは 単振動とみなせる振り子 の運動のことを言います。

振り子をふると左右に振動しますね。ただし、それだけでは振り子の運動は単振動とは言えません。振れの角度が大きいときは単振動とは言えないのです。 振れの角度が小さい微小振動 のとき、おもりが描く軌道は直線に近くなり、 単振動 ということができます。

下の図では、長さℓの糸に質量mの物体が取り付けられています。

糸が鉛直状態になり、物体が最下点にある位置を原点x=0とします。ここから物体の運動を捉えるために、水平方向(x方向)の運動方程式を立てていきましょう。

最下点から糸のなす角θだけ進んだ位置を考えます。このとき、物体には鉛直方向下向きに重力mg[N]、そして糸が引っ張り上げる張力S[N]がはたらきますね。ただし、張力S[N]は、物体の進行方向に対して常に垂直であるので、考慮しなくてもよいのです。物体の進行方向である接線方向にはたらく力を考えましょう。

x軸の右向きをプラスとし、加速度をaとおきます。重力を分解すると、
重力の中心方向の成分：mgcosθ
重力の接線方向の成分：mgsinθ
となりますね。

ここで、θのなす角度がとても小さく、ほぼ0だったとします。θ≒0のとき、 接線方向にはたらく力mgsinθは、ほぼ水平方向にはたらく力 だと考えることができます。図で、角θをどんどん小さくして0に近づけると、物体はx軸上を運動すると考えることができるのです。

x方向にはたらく力は、接線方向の力に等しいと考えることができます。したがって、x方向の運動方程式は以下のようになります。
ma=−mgsinθ
接線方向にはたらく力は左向きなので、マイナスをつけることを忘れないようにしてください。

さて、ここでsinθを別の値に置きかえることを考えてみましょう。図をもう一度見てください。

θを角にもつ斜辺ℓ、高さxの直角三角形ができるので、
sinθ=x/ℓ
と表されます。運動方程式ma=−mgsinθに代入すると
ma=(−mgx)/ℓ
となりますね。ここで、mg/ℓ=Kとおくと、
ma=−Kx
となり、この運動が 単振動する ことが証明できました。

運動方程式から加速度aは
a=(gx)/ℓ
となります。a=−ω²xを代入すると、
ω²=g/ℓ
⇔ ω=√(g/ℓ)
となり、角速度ωが求められます。ωがわかれば、周期T=2π/ωに代入して、次の値がでてきます。

この式をよく見ると、周期Tは重力gと糸の長さℓによって決まりますね。つまり 物体の質量は全く関係ない ことがわかります。