高校物理

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5分で解ける!第二宇宙速度に関する問題

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5分で解ける!第二宇宙速度に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校物理 運動と力80

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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小物体を初速度v0で打ち上げたとき、無限遠に飛び去るためのv0の最小値を求める問題です。つまり、 第二宇宙速度 を求めます。

宇宙の果てに到達したとき速度は0

高校物理 運動と力80 練習の文と(1)

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まずは図を描いて、情報を整理しましょう。地球の半径はR、地上における重力加速度はgです。地球の質量と小物体の質量は問題に与えられていませんが、それぞれM、mとおきます。小物体に宇宙に向かって初速度v0を与えたところ、地球に戻ってきませんでした。つまり、打ち上げられた小物体は宇宙の果てに到達し、地球との距離が∞(無限大)になります。

高校物理 運動と力80 練習 図

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このときの初速度v0の最小値を求めましょう。まず、小物体は打ち上げられた後も、地球に引っ張られる万有引力によってどんどん減速していきます。 宇宙の果てに到達したとき、まだ速度を持っていれば万有引力から脱出した と言えます。今回求めるのは最小値なので、ギリギリを考えれば良いです。つまり、打ち上げられた小物体がどんどん減速していき、 宇宙の果てに到達したとき速度がなくなって0[m/s]になる ケースを考えればよいのです。このときが初速度の最小値となります。

宇宙の果ては小物体の力学的エネルギーが0

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小物体にはたらく力は万有引力という保存力なので、打ち上げられた小物体は運動エネルギーKと位置エネルギーUの合計である 力学的エネルギーが保存 されます。

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小物体が 打ち上げられた瞬間の力学的エネルギー は、
(1/2)mv02+(−GMm/R)
です。

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次に、小物体が宇宙の果てに来たときの力学的エネルギーを考えます。速度は0になっているので、運動エネルギーは0です。位置エネルギーは、宇宙の果てを位置エネルギーの基準にしているため、位置エネルギーも0となります。つまり宇宙の果てでの 力学的エネルギーは0 となります。

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これらの内容から、力学的エネルギー保存の式を立てると次のようになります。

高校物理 運動と力80 練習 解答左半分1~2行目
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この式を変形し、v0について解くと、答えが出てきますね。

(1)の答え
高校物理 運動と力80 練習 解答 図をのぞく 左側の解答の下に、右側の解答を続ける
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今回の問題では、地球の質量Mと万有引力定数Gが与えられていません。したがって、地球上の重力mgと万有引力GMm/R2が等しいという関係を用いて、G、Mをg、Rの式に変形している点に注意しましょう。

第二宇宙速度を求めよう

高校物理 運動と力80 練習(2)の問題文のみ

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(1)で求めたv0の式に代入して、第二宇宙速度の具体的な値を求めましょう。

(2)の答え
高校物理 運動と力80 練習(2)解答すべて
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秒速11kmで投げ出せば、宇宙の果てまで小物体を投げることができることがわかりました。肩に自信がある人は、ぜひやってみてください(笑い)。

第二宇宙速度
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