地球の半径と同じ高さまで打ち上げられた小物体の初速度v₀を求める問題です。万有引力の位置エネルギーを利用して解いてみましょう。

情報を整理して、図を描いてみましょう。まず、半径Rで質量Mの地球があります。そして地表に小物体があり、質量をmとしましょう。この物体に初速度v₀を与えて打ち上げました。

小物体はどんどん地球から遠ざかって行き、地球の半径と同じ高さRまで上がります。 小物体は高さRで一瞬だけ静止 して、また地球に向かって落ちてきたと考えます。

小物体の初速度v₀がいくらだったのかを求めましょう。

小物体にはたらく力は、万有引力のみですね。万有引力は保存力なので、 力学的エネルギーが保存 されます。

小物体の スタートの位置 での力学的エネルギーは、
運動エネルギー
(1/2)mv₀²
位置エネルギー
−GMm/R
の和ですね。

そして小物体が 最高点 に到達したとき、速度は0となります。したがって、運動エネルギーは0です。さらに地球の重心からの距離は2Rとなるので、位置エネルギーは、
−GMm/2R
となります。これらを踏まえて力学的エネルギー保存の式を立てれば、初速度v₀が求められますね。