図形の証明問題だね。大きなヒントになっているのが、 点MはBCの中点 だという部分と、 ∠AMB、∠AMCの二等分線 という部分だ。 内角の二等分線 については、次のポイントがカギになるよ。

証明問題では、まずゴール（結論）を見て、解答の筋道を立てよう。証明のゴールは、 「PQ//BC」 だよね。

では、 2直線の平行 を、どう証明すればいいだろう。パッと思いつくのは、 同位角 または 錯角 が等しいことがいえれば、その 2直線は平行 だよ。ただ、問題の図を眺めてみても、同位角などの 手がかりは全然ない んだよね。

「平行」を示すには、もう1つ別の方法があったことを思い出してほしい。次のポイントのように、 線分比からも平行を示すことができた よね。

上の図のように、 線分比 が 「(上)：(下)＝［上］：［下］」 なら、 2直線は平行 になるんだったね。この方向から証明はできないだろうかと、改めて図を眺めてみよう。 AP：PB=AQ：QC がいえれば、 PQ//BC がいえるね。

すると、△AＭBと△AＭCにおいて、 内角の二等分線と線分比の関係 を使えば、 AP：PBとAQ：QCの線分比 がわかるんじゃないかな？具体的には、
△AMBにおいて、AP：PB＝ AM：BM
△AMCにおいて、AQ：QC＝ AM：CM
MはBCの中点 だから、 BM＝CM なので、 AP：PB=AQ：QCより、PQ//BC がいえるようになるね。

証明の筋道が見えたら、実際に証明を書いていこう。
まずは△AＭBと、△AＭCにおいて、 内角の二等分線と線分比 の関係を使い、 AP：PBとAQ：QCの線分比 を言い換えるんだ。

そして、 点MがBCの中点 であることから AP：PB＝AQ：QC を導こう。

これにより、平行線と線分比の関係から、最終的な結論（ゴール）、 PQ//BC を導くことができるよ。