高校数学A

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5分で解ける!角の二等分線と比の利用に関する問題

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5分で解ける!角の二等分線と比の利用に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

一緒に解いてみよう

高校数学A 図形の性質7 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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図形の証明問題だね。大きなヒントになっているのが、 点MはBCの中点 だという部分と、 ∠AMB、∠AMCの二等分線 という部分だ。 内角の二等分線 については、次のポイントがカギになるよ。

POINT
高校数学A 図形の性質7 ポイント

「平行」はどう証明すればよいか?

高校数学A 図形の性質7 例題

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証明問題では、まずゴール(結論)を見て、解答の筋道を立てよう。証明のゴールは、 「PQ//BC」 だよね。

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では、 2直線の平行 を、どう証明すればいいだろう。パッと思いつくのは、 同位角 または 錯角 が等しいことがいえれば、その 2直線は平行 だよ。ただ、問題の図を眺めてみても、同位角などの 手がかりは全然ない んだよね。

「線分比」から「平行」を証明!

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「平行」を示すには、もう1つ別の方法があったことを思い出してほしい。次のポイントのように、 線分比からも平行を示すことができた よね。

POINT
高校数学A 図形の性質4 ポイント
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上の図のように、 線分比「(上):(下)=[上]:[下]」 なら、 2直線は平行 になるんだったね。この方向から証明はできないだろうかと、改めて図を眺めてみよう。 AP:PB=AQ:QC がいえれば、 PQ//BC がいえるね。

高校数学A 図形の性質7 図のみ

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すると、△AMBと△AMCにおいて、 内角の二等分線と線分比の関係 を使えば、 AP:PBとAQ:QCの線分比 がわかるんじゃないかな?具体的には、
△AMBにおいて、AP:PB= AM:BM
△AMCにおいて、AQ:QC= AM:CM
MはBCの中点 だから、 BM=CM なので、 AP:PB=AQ:QCより、PQ//BC がいえるようになるね。

証明を書いていこう

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証明の筋道が見えたら、実際に証明を書いていこう。
まずは△AMBと、△AMCにおいて、 内角の二等分線と線分比 の関係を使い、 AP:PBとAQ:QCの線分比 を言い換えるんだ。

高校数学A 図形の性質7 例題の答え 証明の途中 6行目まで
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そして、 点MがBCの中点 であることから AP:PB=AQ:QC を導こう。

高校数学A 図形の性質7 例題の答え 証明の途中 7行目から8行目まで
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これにより、平行線と線分比の関係から、最終的な結論(ゴール)、 PQ//BC を導くことができるよ。

答え
高校数学A 図形の性質7 例題の答え 全部
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角の二等分線と比の利用
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