下線に入る英語を選択肢から選ぶ問題だね。選択肢は，①suspected，②doubted，③thought。that以下の文に注意して，「思った」に当たる英語をこの3つの動詞から選ぼう。

主語はNancyだね。下線には，①suspected，②doubted，③thought のいずれかが入り，that以下はthere was any way to solve the problem「この問題を解決するあらゆる方法があった」。

ここで，与えられた日本語が「ナンシーは，この問題を解決する方法はないと思った」という否定の意味を含むことに注意しよう。
否定的な意味がある動詞を選ぶべきだとわかるよ。

①suspected と ③thought はほぼ同じで 「〜であると疑った・思った」 。
否定の意味を含まないから間違い とわかる。

よって ②doubted「〜ではないと疑った・思った」 が正解だとわかるよ。
doubtはdon't thinkとほぼ同じ意味。
doubtが含むnotの意味が，あとのanyと結びついて not any「何も～ない」になる んだ。
Nancy doubted that there was any way to solve the problem
「ナンシーは，この問題を解決する方法はないと思った」
だね。