床に向かって小球を自由落下させたときの反発係数を求めてみましょう。

まずは図を書いてみましょう。小球は床から高さhの位置にあります。自由落下なので初速度は0[m/s]で、床に衝突する直前の速さをv、衝突した後の直前の速さをv'とします。

小球は、衝突後は投げ上げと同じ運動をするので、必ず速さが0になる点があります。 速さが0になるときの高さがh' となります。

では、このときの反発係数は一体いくらになったのでしょうか。反発係数eはvとv'を使って次の式で表すことができました。

v、v'は速さなので、絶対値は必要ありませんね。あとは、v、v'をh、h'で表すことを考えます。

衝突前のvについて、 力学的エネルギーが保存 されていることを利用して速さvを導きましょう。床を位置エネルギーの基準点に定め、この位置エネルギーを0とします。すると、最初は運動エネルギーが0で 位置エネルギーmghだけ でした。この物体を自由落下させると、衝突直前に物体の 運動エネルギーは1/2mv² 、位置エネルギーは0となります。したがって、以下のような式が立てられ、速さvが求まります。

次に衝突後の速さv'を、同様に力学的エネルギー保存の法則から求めていきましょう。

物体の衝突直後の 運動エネルギーは(1/2)mv'² で、位置エネルギーは0です。高さh'に達したときの運動エネルギーは0で、 位置エネルギーがmgh' となります。したがって、力学的エネルギー保存から次の式が立てられます。
(1/2)mv'²+0=0+mgh'
つまり、 v'=√(2gh') ですね。

求めたv、v'を反発係数の式に代入すると、答えが出てきます。