方程式{x³/(x-1)}=aが異なる3個の実数解を持つように定数aの値の範囲を定める問題です。この方程式の解の個数は，aの値によって変わってきます。解が3個になるようにaの値を上手く設定すればよいのです。

前回，前々回の授業で扱った問題と解法はほとんど変わりません。実数解の個数といわれたときは，次のポイントのようにグラフで考えるのが解法のセオリーです。

曲線y={x³/(x-1)}のグラフと，直線y=aとの共有点の個数を調べればよいのですね。実際に解いていきましょう。

曲線y={x³/(x-1)}のグラフと，直線y=aとの共有点の個数を調べます。式y={x³/(x-1)}をパッと見ただけでは，曲線の概形はわかりません。まずは，xが±∞を目指すときの極限から求めていきましょう。

xが±∞を目指すときの極限が∞だと与えられていますね。これより，グラフの右側と左側はどんどん上昇していくことがわかります。

さらに，y={x³/(x-1)}は分数関数であり，x≠1です。分母が0となるx=1を漸近線にもちます。x=1の直線を境に分断された曲線をイメージしてください。曲線がx=1に右側から近づくときの極限と，左側から近づくときの極限はそれぞれ，

x=1に右側から近づくときは∞，左側から近づくときは-∞とわかりました。

極限からわかった 曲線y={x³/(x-1)} の特徴を整理すると，
・左側は上昇
・x=1に左側から近づきながら下降
・x≠1
・x=1に右側から近づきながら上昇
・右側は上昇
となります。

では，曲線の形をもっと具体的に決めていきましょう。

導関数y' は，商の微分公式より，

x≠1の範囲でy'=0 となるのは，
x²=0 または 2x-3=0
となるとき，つまり x=0，(3/2) です。y'の符号は，(2x-3)が決定し，x=(3/2)の前後で符号が変化します。

x≠0，1のとき，
x＜(3/2) では，
(2x-3)＜0となり，y'＜0ですね。よって，yは減少しています。
(3/2)＜x では，
(2x-3)＞0となり，y'＞0ですね。よって，yは増加しています。

これらの情報をもとに増減表をかくと，

x=(3/2) では，
y={(3/2)³}/{(3/2)-1}= 27/4
で，極小値となっています。

これまでに集めた 曲線y={x³/(x-1)} の特徴を整理すると，
・左側は上昇
・x＜0では，右下がり
・x=0のとき，y=0
・0＜x＜1では，右下がり
・x=1に左側から近づきながら下降
・x≠1
・x=1に右側から近づきながら上昇
・1＜x＜(3/2)では，右下がり
・x=(3/2)では，極小値27/4
・(3/2)＜xでは，右上がり
となります。

よって，次のようなグラフが描けます。

いよいよ，このグラフをもとに直線y=aとの交点の個数を求めていきましょう。

交点の個数を考えるときは，直線y=aを上下に動かすのがわかりやすいです。

まず，y=aがy=(27/4)よりも上側にあるときは，交点3個ですね。ここから，直線を少しずつ下げていくと，
y=(27/4) で，曲線の極小値と交わり，交点2個
y＜(27/4) で，曲線と1点で交わり，交点1個
とわかります。

交点の個数は，まさしく方程式の実数解の個数示すので，実数解3個となるのは，a＞(27/4)のときです。