高校数学Ⅲ

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5分で解ける!方程式の実数解の個数(3)に関する問題

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5分で解ける!方程式の実数解の個数(3)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
方程式の実数解の個数(3)

微分法の応用28 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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方程式{x3/(x-1)}=aが異なる3個の実数解を持つように定数aの値の範囲を定める問題です。この方程式の解の個数は,aの値によって変わってきます。解が3個になるようにaの値を上手く設定すればよいのです。

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前回,前々回の授業で扱った問題と解法はほとんど変わりません。実数解の個数といわれたときは,次のポイントのようにグラフで考えるのが解法のセオリーです。

POINT
微分法の応用28 ポイント
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曲線y={x3/(x-1)}のグラフと,直線y=aとの共有点の個数を調べればよいのですね。実際に解いていきましょう。

±∞,±1を目指すときの極限値は?

微分法の応用28 問題

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曲線y={x3/(x-1)}のグラフと,直線y=aとの共有点の個数を調べます。式y={x3/(x-1)}をパッと見ただけでは,曲線の概形はわかりません。まずは,xが±∞を目指すときの極限から求めていきましょう。

微分法の応用28 答え1~3行目まで

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xが±∞を目指すときの極限が∞だと与えられていますね。これより,グラフの右側と左側はどんどん上昇していくことがわかります。

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さらに,y={x3/(x-1)}は分数関数であり,x≠1です。分母が0となるx=1を漸近線にもちます。x=1の直線を境に分断された曲線をイメージしてください。曲線がx=1に右側から近づくときの極限と,左側から近づくときの極限はそれぞれ,

微分法の応用28 答えの4行目だけ

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x=1に右側から近づくときは∞左側から近づくときは-∞とわかりました。

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極限からわかった 曲線y={x3/(x-1)} の特徴を整理すると,
・左側は上昇
・x=1に左側から近づきながら下降
・x≠1
・x=1に右側から近づきながら上昇
・右側は上昇
となります。

y'=0の解を求め,増減表をかく

微分法の応用28 問題

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では,曲線の形をもっと具体的に決めていきましょう。

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導関数y' は,商の微分公式より,

微分法の応用28 答え5~6行目

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x≠1の範囲でy'=0 となるのは,
x2=0 または 2x-3=0
となるとき,つまり x=0,(3/2) です。y'の符号は,(2x-3)が決定し,x=(3/2)の前後で符号が変化します。

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x≠0,1のとき,
x<(3/2) では,
(2x-3)<0となり,y'<0ですね。よって,yは減少しています。
(3/2)<x では,
(2x-3)>0となり,y'>0ですね。よって,yは増加しています。

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これらの情報をもとに増減表をかくと,

微分法の応用28 増減表

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x=(3/2) では,
y={(3/2)3}/{(3/2)-1}= 27/4
で,極小値となっています。

極限値と増減表をもとにグラフをかく

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これまでに集めた 曲線y={x3/(x-1)} の特徴を整理すると,
・左側は上昇
・x<0では,右下がり
・x=0のとき,y=0
・0<x<1では,右下がり
・x=1に左側から近づきながら下降
・x≠1
・x=1に右側から近づきながら上昇
・1<x<(3/2)では,右下がり
・x=(3/2)では,極小値27/4
・(3/2)<xでは,右上がり
となります。

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よって,次のようなグラフが描けます。

微分法の応用28 右下のグラフ

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いよいよ,このグラフをもとに直線y=aとの交点の個数を求めていきましょう。

直線y=aを上から下げていく

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交点の個数を考えるときは,直線y=aを上下に動かすのがわかりやすいです。

微分法の応用28 右下のグラフ

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まず,y=aがy=(27/4)よりも上側にあるときは,交点3個ですね。ここから,直線を少しずつ下げていくと,
y=(27/4) で,曲線の極小値と交わり,交点2個
y<(27/4) で,曲線と1点で交わり,交点1個
とわかります。

微分法の応用28 右下のグラフ

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交点の個数は,まさしく方程式の実数解の個数示すので,実数解3個となるのは,a>(27/4)のときです。

答え
微分法の応用28 答え
方程式の実数解の個数(3)
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