高校数学Ⅲ

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5分で解ける!方程式の実数解の個数(2)に関する問題

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5分で解ける!方程式の実数解の個数(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
方程式の実数解の個数(2)

微分法の応用27 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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方程式(ex/x)=aの実数解の個数を求める問題です。この方程式を満たすxの値が,1個なのか2個なのか,あるいは3個,4個……なのかを答えればよいのですね。

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方程式の解の個数は,式だけ見てもまったく手掛かりがつかめません。実数解の個数といわれたときは,次のポイントのようにグラフで考えるのが解法のセオリーです。

POINT
微分法の応用27 ポイント
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曲線y=(ex/x)のグラフと,直線y=aとの共有点の個数を調べればよいのですね。実際にこの問題で,実数解の個数を求めていきましょう。

±∞,±0を目指すときの極限値は?

微分法の応用27 問題

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曲線y=(ex/x)のグラフと,直線y=aとの共有点の個数を調べます。式y=(ex/x)をパッと見ただけでは,曲線の概形はわかりません。ただし,問題文にはxが∞を目指すときの極限が∞だと与えられていますね。これより,グラフの右側はどんどん上昇していくことがわかります。

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他にも,極限を求めておきましょう。xが-∞を目指すときの極限は,次の計算をすると0ですね。

微分法の応用27 増減表の右側の式のうち3行目だけ

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つまり,グラフの左側はx軸に近づいていくことがわかります。

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さらに,y=(ex/x)は分数関数であり,x≠0です。分母が0となるx=0を漸近線にもちます。y軸を境に分断された曲線をイメージしてください。曲線がx=0に右側から近づくときの極限と,左側から近づくときの極限はそれぞれ,

微分法の応用27 答えの1行目

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y軸に右側から近づくときは∞左側から近づくときは-∞とわかりました。

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極限からわかった 曲線y=(ex/x) の特徴を整理すると,
・左側はx軸に近づく
・y軸に左側から近づきながら下降
・x≠0
・y軸に右側から近づきながら上昇
・右側は上昇
となります。

y'=0の解を求め,増減表をかく

微分法の応用27 問題

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では,曲線の形をもっと具体的に決めていきましょう。

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導関数y' は,商の微分公式より,

微分法の応用27 答え2~4行目

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x≠0の範囲でy'=0 となるのは,
x-1=0
となるとき,つまり x=1 です。y'の符号は,(x-1)が決定し,x=1の前後で符号が変化します。

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x≠0のとき,
x<1では,
(x-1)<0となり,y'<0ですね。よって,yは減少しています。
1<xでは,
(x-1)>0となり,y'>0ですね。よって,yは増加しています。

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これらの情報をもとに増減表をかくと,

微分法の応用27 増減表 右側の式必要

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x=1では,
y=(e/1)= e
で,極小値となっています。

極限値と増減表をもとにグラフをかく

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これまでに集めた 曲線y=(ex/x) の特徴を整理すると,
・左側はx軸に近づく
・x<0では,右下がり
・y軸に左側から近づきながら下降
・x≠0
・y軸に右側から近づきながら上昇
・0<x<1では,右下がり
・x=1では,極小値e
・1<xでは,右上がり
となります。

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よって,次のようなグラフが描けます。

微分法の応用27 右下のグラフ

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いよいよ,このグラフをもとに直線y=aとの交点の個数を求めていきましょう。

直線y=aを上から下げていく

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交点の個数を考えるときは,直線y=aを上下に動かすのがわかりやすいです。

微分法の応用27 右下のグラフ

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まず,y=aがy=eよりも上側にあるときは,交点2個ですね。ここから,直線を少しずつ下げていくと,
y=e で,曲線の極小値と交わり,交点1個
0≦y<e で,曲線と交わらず,交点0個
y<0 で,曲線と1点で交わり,交点1個
とわかります。

微分法の応用27 右下のグラフ

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交点の個数が,まさしく方程式の実数解の個数示すので,次のように答えが出せます。

答え
微分法の応用27 答え
方程式の実数解の個数(2)
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