方程式(logx/x)=aの実数解の個数を求める問題です。この方程式を満たすxの値が，1個なのか2個なのか，あるいは3個，4個……なのかを答えればよいのですね。

方程式の解の個数は，式だけ見てもまったく手掛かりがつかめません。実数解の個数といわれたときは，次のポイントのようにグラフで考えるのが解法のセオリーです。

ポイントの内容を詳しく解説しましょう。
(logx/x)=a
の実数解の個数を求めるときには，曲線y=(logx/x)と直線y=aとの共有点の個数を求めればよいのです。曲線y=(logx/x)のグラフは，微分して増減表を作成すれば概形がわかりますね。xy平面上に表した曲線y=(logx/x)に対して，直線y=aを上下に動かし，共有点の個数がどう変化するかを求めていけばよいのです。

……といっても，抽象的なポイントだけではわかりづらいですよね。実際にこの問題で，実数解の個数を求めていきましょう。

曲線y=(logx/x)のグラフと，直線y=aとの共有点の個数を調べます。式y=(logx/x)をパッと見ただけでは，曲線の概形はわかりません。ただし，問題文にはxが∞を目指すときの極限値が0だと与えられていますね。これより，グラフの右側はどんどんx軸に近づいていくことがわかります。

また，logxの真数条件より，定義域はx＞0です。分母が0となるx=0に近づくときのy=(logx/x)の極限は，次のように -∞ とわかります。

つまりx=0付近では，y軸に右側からどんどん近づきながら下降していくグラフだとイメージできますね。

では，曲線の形をもっと具体的に決めていきましょう。

導関数y' は，商の微分公式より，

x＞0の範囲でy'=0 となるのは，
(分子) loge-logx=0
となるとき，つまり x=e です。y'の符号は，(loge-logx)が決定し，x=eの前後で符号が変化します。

0＜x＜eでは，
(loge-logx)＞0となり，y'＞0ですね。よって，yは増加しています。
e＜xでは，
(loge-logx)＜0となり，y'＜0ですね。よって，yは減少しています。

これらの情報をもとに増減表をかくと，

x=eでは，
y=(loge/e)= (1/e)
で，極大値となっています。

これまでに集めた曲線y=(logx/x)の特徴を整理すると，
・0＜x
・x=0では，y軸に右側から近づきながら下降
・0＜x＜eでは，右上がり
・x=eでは，極大値(1/e)
・e＜xでは，右下がり
・右側はどんどんx軸に近づいていく

よって，次のようなグラフが描けます。

いよいよ，このグラフをもとに直線y=aとの交点の個数を求めていきましょう。

交点の個数を考えるときは，直線y=aを上下に動かすのがわかりやすいです。

まず，y=aがグラフの上側にあるときは，交点0個ですね。ここから，直線を少しずつ下げていくと，
y=(1/e) で，曲線の極大値と交わり，交点1個
0＜y＜(1/e) で，曲線と2点で交わり，交点2個
y≦0 で，曲線と1点で交わり，交点1個
とわかります。

交点の個数が，まさしく方程式の実数解の個数示すので，次のように答えが出せます。