高校数学Ⅲ

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5分で解ける!方程式の実数解の個数(1)に関する問題

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5分で解ける!方程式の実数解の個数(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
方程式の実数解の個数(1)

微分法の応用26 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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方程式(logx/x)=aの実数解の個数を求める問題です。この方程式を満たすxの値が,1個なのか2個なのか,あるいは3個,4個……なのかを答えればよいのですね。

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方程式の解の個数は,式だけ見てもまったく手掛かりがつかめません。実数解の個数といわれたときは,次のポイントのようにグラフで考えるのが解法のセオリーです。

POINT
微分法の応用26 ポイント
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ポイントの内容を詳しく解説しましょう。
(logx/x)=a
の実数解の個数を求めるときには,曲線y=(logx/x)と直線y=aとの共有点の個数を求めればよいのです。曲線y=(logx/x)のグラフは,微分して増減表を作成すれば概形がわかりますね。xy平面上に表した曲線y=(logx/x)に対して,直線y=aを上下に動かし,共有点の個数がどう変化するかを求めていけばよいのです。

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……といっても,抽象的なポイントだけではわかりづらいですよね。実際にこの問題で,実数解の個数を求めていきましょう。

x軸,y軸に近づいていく曲線

微分法の応用26 問題

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曲線y=(logx/x)のグラフと,直線y=aとの共有点の個数を調べます。式y=(logx/x)をパッと見ただけでは,曲線の概形はわかりません。ただし,問題文にはxが∞を目指すときの極限値が0だと与えられていますね。これより,グラフの右側はどんどんx軸に近づいていくことがわかります。

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また,logxの真数条件より,定義域はx>0です。分母が0となるx=0に近づくときのy=(logx/x)の極限は,次のように -∞ とわかります。

微分法の応用26 答え1~2行目

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つまりx=0付近では,y軸に右側からどんどん近づきながら下降していくグラフだとイメージできますね。

y'=0の解を求め,増減表をかく

微分法の応用26 問題

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では,曲線の形をもっと具体的に決めていきましょう。

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導関数y' は,商の微分公式より,

微分法の応用26 答え3~5行目

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x>0の範囲でy'=0 となるのは,
(分子) loge-logx=0
となるとき,つまり x=e です。y'の符号は,(loge-logx)が決定し,x=eの前後で符号が変化します。

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0<x<eでは,
(loge-logx)>0となり,y'>0ですね。よって,yは増加しています。
e<xでは,
(loge-logx)<0となり,y'<0ですね。よって,yは減少しています。

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これらの情報をもとに増減表をかくと,

微分法の応用26 増減表 右側の式必要

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x=eでは,
y=(loge/e)= (1/e)
で,極大値となっています。

極限値と増減表をもとにグラフをかく

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これまでに集めた曲線y=(logx/x)の特徴を整理すると,
・0<x
・x=0では,y軸に右側から近づきながら下降
・0<x<eでは,右上がり
・x=eでは,極大値(1/e)
・e<xでは,右下がり
・右側はどんどんx軸に近づいていく

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よって,次のようなグラフが描けます。

微分法の応用26 右下のグラフ

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いよいよ,このグラフをもとに直線y=aとの交点の個数を求めていきましょう。

直線y=aを上から下げていく

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交点の個数を考えるときは,直線y=aを上下に動かすのがわかりやすいです。

微分法の応用26 右下のグラフ

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まず,y=aがグラフの上側にあるときは,交点0個ですね。ここから,直線を少しずつ下げていくと,
y=(1/e) で,曲線の極大値と交わり,交点1個
0<y<(1/e) で,曲線と2点で交わり,交点2個
y≦0 で,曲線と1点で交わり,交点1個
とわかります。

微分法の応用26 右下のグラフ

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交点の個数が,まさしく方程式の実数解の個数示すので,次のように答えが出せます。

答え
微分法の応用26 答え
方程式の実数解の個数(1)
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