高校数学Ⅲ

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5分で解ける!不等式の証明(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
不等式の証明(2)

微分法の応用24 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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ex≧x+1 を証明する問題です。

lecturer_avatar

不等式を証明する際は,
(大きい方)ー(小さい)≧0
を目指すのが一般的です。この問題でも,
ex-(x+1)≧0
の証明を目指しましょう。このとき,(左辺)をf(x)とおいて,y=f(x)のグラフをかき,x軸の上側にグラフがあることを証明するのがポイントになります。

POINT
微分法の応用24 問題
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不等式に等号が含まれているときは,等号が成立するときのxの値も求めましょう。曲線y=f(x)がx軸と接するときのx座標が,等号成立するxの値となります。

f(x)=ex-(x+1)のグラフの概形をかく

微分法の応用24 問題

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f(x)=ex-(x+1)とおきます。f(x)=ex-(x+1)のグラフをかくために,f(x)の増減や極値を求めていきます。

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f'(x)=ex-1
において,f'(x)=0となるのは,
ex-1=0
つまり,x=0 のときですね。

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x<0のときのf'(x)の符号はマイナスです。
x=-1を代入した
f'(-1)=(1/e)-1<0
よりわかります。
また,x>0のときのf'(x)の符号はプラスです。
x=1を代入した
f'(1)=e-1>0
よりわかります。

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したがって,次のように増減表を作成できます。

微分法の応用24 増減表と右側の式

x軸の上側にグラフがある範囲では,f(x)≧0

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増減表をもとにy=f(x)のグラフの概形をかくと,

微分法の応用24 グラフ

lecturer_avatar

曲線y=f(x)について,グラフが常にx軸を含む上側にあることがわかります。したがって,f(x)≧0が成り立ちます。また,曲線y=f(x)がx軸と接するときのx座標が,等号成立するxの値となるので,等号成立はx=0となりますね。証明の記述は,以下のように書くとよいでしょう。

答え
微分法の応用24 問題 答え
不等式の証明(2)
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