高校数学Ⅲ
5分で解ける!不等式の証明(1)に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
不等式の証明(1)
解説
これでわかる!
問題の解説授業
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不等式を証明する際は,
①(大きい方)ー(小さい)>0
を示すのが一般的でしたね。
この問題でも,目指すのは,
x-log(x+1)>0
の証明になります。では,いったいどう示していけばよいのでしょうか? 不等式の証明のポイントを確認しましょう。
POINT
![微分法の応用23 問題](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/6_2_23_1/k_mat_3_6_2_23_1_image02.png)
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f(x)>0を証明したいときは, ②y=f(x)のグラフをかく のがコツです。曲線y=f(x)のグラフは,微分することで概形を特定できましたね。y=f(x)のグラフをかいたとき, ③x軸の上側にグラフがある範囲では,f(x)>0 だと示せます。
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この手順にしたがって,実際にlog(x+1)<xを証明していきましょう。
f(x)=x-log(x+1)のグラフの概形をかく
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f(x)=x-log(x+1) (x>0)とおきます。まずは,f(x)=x-log(x+1)のグラフをかいていきましょう。
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f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
において,x>0のとき,分子x>0,分母x+1>0がいえますね。分母・分子が正の値となるので,x>0では,
f'(x)>0
が成り立ちます。x>0では,曲線y=f(x)の接線の傾きは増加し続けるので,f(x)は増加関数です。
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y=f(x)のスタート地点となるx=0では,
f(0)=0-log(0+1)=0
よって,次のようにグラフがかけますね。
x軸の上側にグラフがある範囲では,f(x)>0
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曲線y=f(x)について,x軸よりもグラフが上側にある範囲では,f(x)>0が成り立ちます。グラフをよく見ると,
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y=f(x)は,原点(0,0)をスタート地点に増加しているので,f(x)>0が確かに成り立ちますね。よって,x-log(x+1)>0 つまり log(x+1)<x が証明できるわけです。
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グラフを使った証明の記述は,以下のように書くとよいでしょう。
答え
![微分法の応用23 問題 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/6_2_23_1/k_mat_3_6_2_23_1_image05.png)
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x>0のとき,log(x+1)<xを証明する問題です。