x＞0のとき，log(x+1)＜xを証明する問題です。

不等式を証明する際は，
①(大きい方)ー(小さい)＞0
を示すのが一般的でしたね。
この問題でも，目指すのは，
x-log(x+1)＞0
の証明になります。では，いったいどう示していけばよいのでしょうか？ 不等式の証明のポイントを確認しましょう。

f(x)＞0を証明したいときは， ②y=f(x)のグラフをかく のがコツです。曲線y=f(x)のグラフは，微分することで概形を特定できましたね。y=f(x)のグラフをかいたとき， ③x軸の上側にグラフがある範囲では，f(x)＞0 だと示せます。

この手順にしたがって，実際にlog(x+1)＜xを証明していきましょう。

f(x)=x-log(x+1) (x＞0)とおきます。まずは，f(x)=x-log(x+1)のグラフをかいていきましょう。

f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
において，x>0のとき，分子x＞0，分母x+1＞0がいえますね。分母・分子が正の値となるので，x＞0では，
f'(x)＞0
が成り立ちます。x＞0では，曲線y=f(x)の接線の傾きは増加し続けるので，f(x)は増加関数です。

y=f(x)のスタート地点となるx=0では，
f(0)=0-log(0+1)=0
よって，次のようにグラフがかけますね。

曲線y=f(x)について，x軸よりもグラフが上側にある範囲では，f(x)＞0が成り立ちます。グラフをよく見ると，

y=f(x)は，原点(0，0)をスタート地点に増加しているので，f(x)＞0が確かに成り立ちますね。よって，x-log(x+1)＞0 つまり log(x+1)＜x が証明できるわけです。

グラフを使った証明の記述は，以下のように書くとよいでしょう。