高校数学Ⅲ

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5分で解ける!不等式の証明(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
不等式の証明(1)

微分法の応用23 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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x>0のとき,log(x+1)<xを証明する問題です。

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不等式を証明する際は,
①(大きい方)ー(小さい)>0
を示すのが一般的でしたね。
この問題でも,目指すのは,
x-log(x+1)>0
の証明になります。では,いったいどう示していけばよいのでしょうか? 不等式の証明のポイントを確認しましょう。

POINT
微分法の応用23 問題
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f(x)>0を証明したいときは, ②y=f(x)のグラフをかく のがコツです。曲線y=f(x)のグラフは,微分することで概形を特定できましたね。y=f(x)のグラフをかいたとき, ③x軸の上側にグラフがある範囲では,f(x)>0 だと示せます。

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この手順にしたがって,実際にlog(x+1)<xを証明していきましょう。

f(x)=x-log(x+1)のグラフの概形をかく

微分法の応用23 問題

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f(x)=x-log(x+1) (x>0)とおきます。まずは,f(x)=x-log(x+1)のグラフをかいていきましょう。

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f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
において,x>0のとき,分子x>0,分母x+1>0がいえますね。分母・分子が正の値となるので,x>0では,
f'(x)>0
が成り立ちます。x>0では,曲線y=f(x)の接線の傾きは増加し続けるので,f(x)は増加関数です。

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y=f(x)のスタート地点となるx=0では,
f(0)=0-log(0+1)=0
よって,次のようにグラフがかけますね。

微分法の応用23 6行目まで,とグラフ

x軸の上側にグラフがある範囲では,f(x)>0

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曲線y=f(x)について,x軸よりもグラフが上側にある範囲では,f(x)>0が成り立ちます。グラフをよく見ると,

微分法の応用23 グラフ

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y=f(x)は,原点(0,0)をスタート地点に増加しているので,f(x)>0が確かに成り立ちますね。よって,x-log(x+1)>0 つまり log(x+1)<x が証明できるわけです。

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グラフを使った証明の記述は,以下のように書くとよいでしょう。

答え
微分法の応用23 問題 答え
不等式の証明(1)
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