高校数学Ⅲ

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5分でわかる!関数f(x)の1次近似式

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この動画の要点まとめ

ポイント

関数f(x)の1次近似式

微分法の応用29 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回は,関数f(x)の1次近似式について解説します。

1次近似式とは?

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複雑で扱いにくい関数について,その一部を単純な関数である1次関数y=ax+bで近似させることを1次近似といいます。

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例えば,hが限りなく0に近い値のとき,log(1+h)という式はhの関数ですね。ここに,h=0.01を代入すると,
log(1+h)=log(1.01)
という式が出てきますが,log(1.01)の値は簡単には求められません。

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そんなときに活躍するのが1次近似式なのです。log(1+h)は,実は1次近似式で表すと,
log(1+h) 1×h+log1
と,とても単純な式で近似されます。これにより,log(1.01)は「だいたい(1×0.01)+log1=0.01に近い値なんだな」と予測できるわけです。

1次近似式を求める手順

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ある関数f(x)の1次近似式をつくるときは,曲線y=f(x)の接線の方程式がカギになります。

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順を追って説明しましょう。例えば,曲線y=f(x)があり,f(x)はx=aで微分可能だとします。ここから0に限りなく近いhだけ進んだx=a+hの値f(a+h)について考えます。

微分法の応用29 ポイント 左側の図のみ

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x=aにおける接線の方程式は,傾きf'(a),通る1点の座標が(a,f(a))であることから,接線公式より,
接線:y=f'(a)(x-a)+f(a)
と,立式できますね。接線上で,0に限りなく近いhだけ進んだx=a+hの値は,
y=f'(a)(a+h-a)+f(a)
y=f'(a)h+f(a)
hの1次式で表せます。

微分法の応用29 ポイント 右側のうち,1~4行目まで(接線において~…①まで)

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一方,関数f(x)において,x=aの値はf(a)です。ここから0に限りなく近いhだけ進んだx=a+hの値は,f(a+h)です。

微分法の応用29 ポイント 右側のうち,5~7行目まで(曲線において~…②まで)

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hが限りなく0に近いとき,下の図の曲線と接線は限りなく近づいていきますよね。

微分法の応用29 ポイント 左側の図のみ

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つまり,x=a+hにおける接線の値①と曲線の値②が限りなく近づくことになり,複雑な関数の値②を単純な関数の値①に近似できるのです。

微分法の応用29 ポイント 図の下側の2行分のみ

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この式を,関数f(x)の1次近似式と呼びます。

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以下に,1次近似式の説明をポイントとしてまとめておきました。問題1,問題2では,実際に1次近似式を求めていきましょう。

POINT
微分法の応用29 ポイント
Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

関数f(x)の1次近似式
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