弧度法を使ったtanの値を求める問題ですね。
ポイントは以下の通りですね。符号の変化に注意しましょう。

θ=π/3,5π/6,5π/4,7π/4の時の点を取ってみましょう。

ただし、このままではイメージがしにくいので、度数法に直すと、
π/3=60°,5π/6=150°,5π/4=225°,7π/4=315°となります。
この位置にそれぞれ 半径を斜辺とする直角三角形 を作ってあげましょう。

60°の時は 60°,30°,90°の直角三角形 ができます。
この時、 底辺:高さ:斜辺=1:√3:2
tanπ/3は第1象限にあるので符号は プラス となり
y/x より√3

150°の時は 30°、60°,90°の直角三角形 ができます。
この時、 底辺:高さ:斜辺=√3:1:2
すると、tan3π/4の値は第2象限にあるので符号は マイナス となり
y/x より-1/√3

225°の時は 45°,45°,90°の直角三角形 ができます。
この時、 底辺:高さ:斜辺=1:1:√2
なので、tan7π/6は第3象限にあるので符号は プラス となり
y/x より1

315°の時は 45°,45°,90° の直角三角形ができ
この時、 底辺:高さ:斜辺=1:1:√2
tan5π/3は第4象限にあるので符号は マイナス となり
y/x より-1とそれぞれ求まりますね。