高校数学Ⅱ

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5分で解ける!剰余の定理の活用問題に関する問題

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5分で解ける!剰余の定理の活用問題に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 式と証明14 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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では、練習問題を解いてみましょう。
「剰余の定理」の考え方が使えますよ。

POINT
高校数学Ⅱ 式と証明14 ポイント

余りをax+bとして式を立てよう

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今回は、ある整式f(x)を、x2-4x+3という2次式で割る問題です。
余りは1次式になりますから、 ax+b と表せますね。

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商をQ(x)とおくと、次のような式が立てられます。
f(x)=Q(x)(x2-4x+3)+ax+b
さらに、x2-4x+3を因数分解すると、
f(x)=Q(x)(x-1)(x-3)+ax+b
となりますね。

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因数分解して出てきたx-1、x-3は、問題文の前半に書かれてある1次式、x-1、x-3と一致しています。
ここに、問題を解く大きなヒントがありそうですね。

「剰余の定理」を活用しよう!

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では、問題文の前半に注目しましょう。 「f(x)を1次式(x-1)で割った余りは1」 だと言っていますね。
1次式での割り算の話ですから、いよいよ、 剰余の定理 の出番です。

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剰余の定理を使うと、 「f(x)を1次式(x-1)で割った余りはf(1)」 だと分かります。
以上のことから、 f(1)=1 だと言えるわけです。
x-3に関しても、全く同じように考えましょう。すると、 f(3)=3 です。

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するとどうでしょう。
先ほどの例題と全く同じ形の問題となりましたね。
あとは、f(1)=1、f(3)=3を用いて、aとbの連立方程式を作ればいいわけです。

答え
高校数学Ⅱ 式と証明14 練習 答え
剰余の定理の活用問題
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