では、練習問題を解いてみましょう。
「剰余の定理」の考え方が使えますよ。

今回は、ある整式f(x)を、x²-4x+3という２次式で割る問題です。
余りは１次式になりますから、 ax+b と表せますね。

商をQ(x)とおくと、次のような式が立てられます。
f(x)=Q(x)（x²-4x+3）+ax+b
さらに、x²-4x+3を因数分解すると、
f(x)=Q(x)（x-1）（x-3）+ax+b
となりますね。

因数分解して出てきたx-1、x-3は、問題文の前半に書かれてある１次式、x-1、x-3と一致しています。
ここに、問題を解く大きなヒントがありそうですね。

では、問題文の前半に注目しましょう。 「f(x)を１次式（x-1）で割った余りは1」 だと言っていますね。
１次式での割り算の話ですから、いよいよ、 剰余の定理 の出番です。

剰余の定理を使うと、 「f(x)を１次式（x-1）で割った余りはf(1)」 だと分かります。
以上のことから、 f(1)=1 だと言えるわけです。
x-3に関しても、全く同じように考えましょう。すると、 f(3)=3 です。

するとどうでしょう。
先ほどの例題と全く同じ形の問題となりましたね。
あとは、f(1)=1、f(3)=3を用いて、aとbの連立方程式を作ればいいわけです。