高校数学Ⅱ

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5分でわかる!整式の割り算と剰余の定理

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この動画の要点まとめ

ポイント

整式の割り算と剰余の定理

高校数学Ⅱ 式と証明13 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業

「剰余の定理」とはどんな定理か?

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今回のテーマは 「剰余の定理」 です。
「剰余の定理」とは、整式の割り算に関する定理です。
早速、その内容を確認してみましょう。

POINT
高校数学 数学Ⅱ 式と証明13 ポイント
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とはいっても、この文章だけでサッと理解するのは、ちょっと難しいですね。
順を追って解説していきましょう。

整式の割り算を、文字式で表してみると・・・

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高校数学 数学Ⅱ 式と証明13 ポイント 2行目まで
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まず、「整式f(x)」というものが出てきました。
これまで、xの2次式とか、xの3次式といった、具体的な式を扱ってきましたよね。
このf(x)というのは、それらの整式を総称したものです。
同様に、Q(x)も、また別のxの整式を表しているわけですね。

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さて、ここでは、整式f(x)を(x-p)という1次式で割ると言っているんですね。割り算の話をしているわけです。

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割り算した結果が 「(割られる数)=(商)×(割る数)+(余り)」 と表されることは知っていますよね。
これを踏まえて、改めてポイントの式を見てみると、 f(x)=Q(x)(x-p)+r という式は、整式の割り算を文字式で書いたものだと分かります。 Q(x)は割り算の商 を、 rは余り を意味しているんですね。

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また、 「(rは定数)」 と書かれています。 rは1次式(x-p)で割った余りですから、定数になっているわけです

等式にx=pを代入してみると・・・

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高校数学 数学Ⅱ 式と証明13 ポイント 4行目まで
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さて、この等式にx=pを代入してみましょう。すると、
f(p)=Q(p) (p-p) +rより、
f(p)=Q(p) ×0 +r
すわなち、 f(p)=r という式が成り立ちます。
rは、割り算の余りですよね。

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つまり、この式は、 「整式f(x)を1次式(x-p)で割った余りは、f(p)になる」 ということを言っているんです。
これが、「剰余の定理」です。

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今回は、実際に「剰余の定理」を使って、色々な問題を解いてみましょう。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

整式の割り算と剰余の定理
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