高校数学Ⅰ
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5分でわかる!正四面体の高さと体積

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この動画の要点まとめ

ポイント

正四面体の高さと体積

高校数学Ⅰ 三角比36 ポイント

これでわかる!

ポイントの解説授業

正四面体はスゴい!

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今回は、 「正四面体の高さと体積」 について学習するよ。
「正四面体」 というのは覚えているかな?

高校数学Ⅰ 三角比36 例題の正四面体の図
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上の図を見てみよう。「正四面体」とは、全ての面が 「正三角形」 、つまり、 も、 角度 も、 すべて等しい 特別な四面体だよ。

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この「正四面体」は、実はスゴい特徴を持っているんだ。実は 「『1辺』 の長さが分かれば 『高さ』『体積』 も求められるということ。なぜそんなことができるのか。それが今日のポイントだよ。

POINT
高校数学Ⅰ 三角比36 ポイント

点Hは「ど真ん中」!

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図を見ながら詳しく解説していこう。

高校数学Ⅰ 三角比36 例題の四面体の図
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正四面体の頂点Aから底面BCDに 垂線AH を下ろしたとき、この 点H は、△BCDの 外接円の中心 になるよ。
ものすごく簡単に言うと、点Hは 「三角形のど真ん中」 にくるというわけ。全てが正三角形でできているキレイな四面体だから、イメージできる話だよね。
この特徴を利用すると、正四面体の高さと体積を求めることができるんだ。実際の解き方は、例題、練習を通して解説しよう。

【補足】「ど真ん中」になる理由

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「点Hは△BCDの外接円の中心になる」 って、何となくそんな気はしても、それじゃ納得できない人もいるよね。そこで、解説をしておくよ。

高校数学Ⅰ 三角比36 例題の四面体の図
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△ABHと△ACHについて考えてみるよ。
全ての面が正三角形だから、 AB=AC
AHは共通 しているね。
そして、AHは垂線だから、 ∠AHB=∠AHC=90°
直角三角形斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい から、 △ABH≡△ACH なんだ。というわけで BH=CH ということが分かるね。
同様にして、、△ABH≡△ACHだから、、 △ABH≡△ACH

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BH=CH=DH より、
点B,C,Dは、 点Hを中心 とする 半径BH円周上 にあるということがわかったかな?

Imagawa
この授業の先生

今川 和哉 先生

どんなに数学がニガテな生徒でも「これだけ身につければ解ける」という超重要ポイントを、 中学生が覚えやすいフレーズとビジュアルで整理。難解に思える高校数学も、優しく丁寧な語り口で指導。

正四面体の高さと体積
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